Trigonometrikus feladat - hiányos adatok?
A minap a kezembe kerül az Élet és Tudomány néhány példánya, amelyekben találtam egy feladatot (VIII. évfolyam 8. szám, 1953. február 25.), amelyet nem tudtam megoldani. Véleményem szerint hiányosak az adatok. A feladat így szól:
"Egy folyó partján egymással szemben két jegenyefa áll. Az egyik fa 30, a másik 20 m magas. Mindjét jegenye csúcsán egy-egy madár ül. A madarak hirtelen egy halat pillantanak meg, amely a két jegenye közt kidugja a fejét a vízből. A két madár egyszerre csap le a halra és mindketten egyszerre érik azt el. Kérdés: a magasabb jegenye tövétől hány m távolságra dugta ki a fejét a hal a vízből?"
Rajzoltam hozzá egy ábrát is:
Eddig jutottam:
a=30 m
b=20 m
x=?
0°<α<90°
0°<β<90°
β>α
Mivel egyszerre értek oda (és feltételezem hogy egyforma sebességgel repültek a madarak), akkor c=c1=c2 megtett út azonos hosszúságú.
Bal oldali háromszögre felírható:
sin(β)=30/c
Jobb oldali háromszögre felírható:
sin(α)=20/c
Egyenlővé téve őket kijön, hogy:
3/2=sin(β)/sin(α)
Szerintem aluldefiniált a feladat, hisz csak a szögek sinusainak aránya adott, így pedig a c megtett út lehet 10, de akár 100 m vagy több is, ennek függvényében pedig változik x értéke is.
válasza: válasza:én megcsináltam de nem trigonometrikus egyenlettel.
c1=c1=c ahogy írtad is, így a derékszögű háromszögben a 3. oldal ugyanannyi, ezért pitagórászba vettem őket...
x1+x2=x
és a pitagórászok:
30^2+x1^2=c^2 és 20^2+x2^2=c^2
30^2+x1^2=20^2+x2^2
30+x1=20+x2
nekem a végére x1 (ábrádon az x) 20 méter lett, az x2 pedig 30 méter.
remélem segítettem :D ha valami hibát találtok légyszi szóljatok :)
válasza:" 30+x1=20+x2 "
Ez két ismeretlen és egy egyenlet. Hogy jött ki ebből az eredmény? Ebből csak az látszik, hogy a kettő különbsége 10. Lehet akár x1=90 és x2=100 is.
válasza:Előző vagyok. Nem figyeltem, bocsi, már az előző lépés is gázos.
30^2+x1^2=20^2+x2^2
30+x1=20+x2
Ez hogy jött ki?
mivel mind a kettő c^2-tel egyenlő, ezért raktam őket össze :D és az igaz hogy véletlenül lehagytam a következő sorokat:
30^2+x1^2=20^2+x2^2 gyök alá
30+x1=20+x2
10+x1=x2
behelyettesítettem:
30^2+x1^2=20^2+(10+x1)^2
900+x1^2=400+100+20x1+x1^2
400=20x1
20=x1
válasza:1. Nem helyettesíthetsz vissza egy értéket abba az egyenletbe, amiből az az érték kijött. Két ismeretlenhez egy másik, független egyenlet is kellene.
2. Az első lépést még mindig nem értem. Ezek nem egyenlők:
gyök( 30^2 + x1^2 ) <> 30 + x1
Nem értem, azt a gyökvonást hogy csináltad. :)
Nem kötözködés akar lenni, csak ez így sehogy sem kerek. :)
válasza:Az egyik megoldás mindenféle számolás nélkül az, hogy az x = b, azaz két olyan derékszögű háromszög, amelynek befogói megegyeznek (tehát 20 és 30 m), akkor biztos, hogy teljesül pitagorasz alapján az, hogy az átfogók is meg fognak egyezni. Tehát az egyik megoldása a feladatnak az, hogy 20 m.
Azonban ezen kívül még számtalan egyéb megoldása van a feladatnak, hiszen
c^2=30^2 + x1^2
c^2=20^2 + x2^2
vagyis
900 + x1^2 = 400 + x2^2
500 + x1^2 = x2^2
ngy(500+x1^2)=x2
Tehát látható, hogy "elég sok" megoldása van.
válasza:Nekem ez jött ki:
a = 30m
b = 20m
L = ? (a folyó szélessége)
y = ? (a halnak a kisebbik fától való távolsága)
c₁ = c₂ (a madarak távolsága a haltól)
Ebben az esetben:
c₁ = x² + a²
c₂ = y² + b²
x² + a² = y² + b²
x + y = L, ebből: y = L – x
x² + a² = (L – x)² + b²
x² + a² = L² – 2*L*x + x² + b²
2*L*x = L² + b² – a²
x = (L² + b² – a²)/(2*L) = (L² + 20² – 30²)/(2*L) = (L² + 400 – 900)/(2*L) =
= (L² – 500)/(2*L)
A konkrét érték kiszámolásához kellene a folyó szélessége. Máskülönben csak a minimális szélességet tudjuk kiszámítani, ha x = 0, ami 22,36 méter.
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!