Van olyan négyzetszám, ami 300 jegyű, és 200 db 2-es és 100 db 1-es számjegyből áll?

Nincs.

Magyarázat:

Sejtés: a négyzetszámok hárommal osztva 0 vagy 1 maradékot adnak. (jó tudományosan kipróbáltam 20-ig, jobb nem jutott eszembe.)

Az ilyen tagokból álló szám pedig 3-al osztva 2 maradékot ad -> nem lehet ilyen számjegyekből álló négyzetszám.

A sejtés bizonyítása:

Nézzük az n²-et. n körül három egymást követő szám ez: n-1, n, n+1. Ezek közül az egyik osztható 3-mal.

Ha n osztható 3-mal, akkor n² maradéka 3-mal osztva 0.

Ha n nem osztható 3-mal, akkor vagy n-1, vagy n+1 osztható. Mivel (n-1)(n+1) = n²-1, ezért n²-1 maradéka 3-mal osztva 0 lesz. Ezért n²-é eggyel több, tehát 1.