MATEK versenyfeladat?! ABCD trapéz párhuzamos oldalai AB és CD, mégpedig AB hosszabb CD-nél, és CD=3 egység. AB oldal hossza mennyi? Trapéz szögeinek nagysága mekkora?

Rajzoljuk be például a C-ből induló magasságot, a talppontja az AB alapon legyen T. Ekkor a magasságtétel miatt CT az AT és TB szakaszok mértani közepe. Legyen például BT=x, ekkor AT=3+x, és így

4=x(x+3).

Az egyenletet megoldva

x=1,

így az AB alap hossza 3+1+1=5.

A CTB derékszögű háromszögből tg(beta)=2, ahol beta a trapéz B-nél levő szöge. Ebből beta, majd a többi szög meghatározható.

Legyen a D-ből és C-ből induló magasság talppontja E és F.

Ekkor EF=3, valamint AE=BF=x.

ACB derékszögű háromszögre felírom a magasságtételt:

2=gyök((x+3)*x)

Ebből 4=(x+3)*x

Másodfokú lesz, gyökei 1 és -4.

Ha az x értéke 1, akkor AB=1+3+1=5 és innen már gondolom, megy...

Egy Pithagorasz tétel elé a megoldáshoz:

(a/2)² = (c/2)² + m²

törteket eltüntetve

a² = c² + 4m²

==========

DeeDee

**********

Kicsit bővebben

[link]

DeeDee

**********

"DeeDee, honnan jön Neked az a tg(alfa) képlet?"

Megmutatom. :-)

Az előző rajzom jelöléseit használva:

Ha a C pontból is meghúzod a trapéz magasságát, keletkezik egy olyan derékszögű háromszög, melynek nagyobbik befogója a trapéz magassága, a rövidebb meg a két alap különbségének fele. Ezért az α szög tangense a következőképp írható:

tgα = m/[(a - c)/2]

ill.

tgα = 2m/(a - c)

A hosszabbik alapra kapott kifejezésből

a² = c² + 4m²

4m² = a² - c²

és

2m = √(a² - c²)

A tangens képletébe behelyettesítve

tgα = [√(a² - c²)]/(a - c)

A nevezőt bevíve a gyök alá egyszerűsítés után marad

tgα = √[(a + c)/(a - c)]

===================

Így állt elő ez az összefüggés, ami csak ebben a speciális esetben - az átló merőleges a szárra - érvényes.

Még valami.

Nem akartam összezavarni a kérdezőt, mivel nem tudtam, milyen milyen eszközöket ismer, de itt leírok egy másik gondolatmenetet a feladat megoldására.

Mivel a trapéz magassága egyben az ABC derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága is, felhasználható a magasságtétel is.

A magasság által felosztott átfogó két szelete

(a/2 + c/2) és (a/2 - c/2)

ezekkel

m² = (a/2 + c/2)(a/2 - c/2)

vagyis

m² = (a/2)² - (c/2)²

amiből átrendezéssel előáll a rajzon látható összefüggés.

DeeDee

**********

1. Kösz a tg levezetést, de honnan kellett volna tudnia ezt a kérdezőnek? :)

2. "nem tudtam, milyen milyen eszközöket ismer"

a magasságtételt a szögfüggvények előtt tanulják, én is ezért bizonyítottam azzal fentebb...