Maximum kiszámítása (? )

A sin(2x)=2x-nek egy megoldása van, a 0. A legegyszerűbb, ha grafikusan oldod meg az egyenletet.

Egy gyököt elveszítettél, mert az első derivált rendezésekor valószínűleg sin x-el osztottál. Ilyenkor szerencsésebb, ha egy oldalra rendezel, 0-ra, ott kiemeled a sinx-et. sinx (sinxcosx-x) lesz, emyleikből az egyik ugye 0. Most ez sem ad másik eredményt egyébként, csak a későbbi okulás miatt írom. (sin x=0 szintén 0).

Az elején pedig nem ártott volna kikötni, hogy 3tgx nem 0, hiszen nem osztunk 0-val. Innen sejthető, hogy miért nem jutsz érdemi eredményre, pedig egyébként a levezetés helyes.

Csak lokális szélsőértéke van:

[link]

Lokális maximumszámítás lépései:

1. Egyszer deriválsz és df/dx=0 egyenletből meghatározod az x lehetséges szélsőérték helyeket.

2. Kétszer is deriválsz, az előjelből megállapítod hogy max/min hely -e a megállapított extremum hely.

3. Visszahelyettesítés az eredti f(x) fv.-be.

Az első két lépés ugye már megtörtént, tudjuk hogy x=0 a megoldás.

Most visszahelyettesítünk f helyére. És azt kapjuk hogy 0 osztva 0 -val.

Innentől kezdve a feladat határértékszámításba megy át:

A limesét kell venned x/(3tgx)-nek a 0 helyen.

Erre azt kapjuk, hogy 1/3. (Pl. L'Hospital módszerrel).

Tehát a válasz az, hogy a fv.-nek x=0 helyen y=1/3 maximuma van.

A megoldáshoz 2 fontos dolgot kell tennünk:

I. Tudjuk hogy az y= x/(3tgx) fv.-nek minden x=k*pi helyen szakadása van. (Ahol: k=0,1,2...)

II. A megoldás során felhasználtuk azt a tényt, hogy a fv.-nek ámbár sok szakadása van, de egy kitüntetett helyen, az x=0 helyen ez a szakadás megszüntethető, és meg is szüntettük. (Ott a helyettesítési érték 1/3).

Tehát a megoldás során az eredeti fv. értelmezési tartományát kiterjesztettük Df[x€{R}\{k*pi}|k=0,1,2...]-re, és ezen kiterjesztés figyelembe vételével adtuk meg a lok. max.-ot.