Ha adott egy paralelogramma két oldala (a, b) és közbezárt szögük, hogyan lehet kiszámolni az átlók által bezárt szöget?

A dupla koszimnusztételes levezetés azért nem egyértelmű, kell még egy trükk a zárt képlethez.

Legyenek az átlók p és q:

  p² = a² + b² - 2ab·cos α

  q² = a² + b² + 2ab·cos α    (hiszen cos(180°-α) = −cos α)

Ezekből p²+q²-re adódik egy érdekes egyszerű képlet:

  p²+q² = 2(a²+b²)

A másik koszinusztétel:

  (2b)² = p²+q² - 2pq·cos δ

Ehhez viszont kellene a p·q szorzat is. Azt a parallelogramma területéből fejezhetjük ki. Ugyanis felírhatjuk a területet kétféleképpen is:

  T = 1/2 · ab·sin α

  T = 1/2 · pq·sin δ

Ebből p·q:

  pq = ab · sin α / sin δ

Mindent behelyettesítve a második koszinusztételbe:

  4b² = 2a² + 2b² - 2·ab·sin α / tg δ

Ebből már gyorsan kijön a keresett zárt alak:

  δ = arc tg [ ab·sin α / (a² - b²) ]

Ha a hegyesszöget szeretnénk megtudni, akkor abszolút értéket kell használni, ez könnyen belátható:

  δ = arc tg [ ab·sin α / |a² - b²| ]