Exponenciális Egyenletek kérdés?

1. Érdemes azonos alapra hoznia különböző hatványokat. Mivel tudjuk, hogy hatványt úgy hatványozunk, hogy a hatványkitevőket összeszorozzuk (képlettel: (a^n)^k=a^(n*k)), ezért tegyünk így:

4^(x+1)=(2^2)^(x+1)=2^(2(x+1))=2^(2x+2)

A következő lépéshez azt kell tudnunk, hogy két azonos alapú hatvány szorzásakor a hatványkitevőket összeadjuk (képlettel: a^n*a^k=a^(n+k)), ez alapján meggondolhatjuk, hogy 2^=(x-1)=2^x*2^(-1)=2^x/2 (mivel egy másik azonosság szerint a^n/a^k=a^(n-k), erre felírhatjuk pl. azt, hogy 2^(-1)=2/2^2=1/2) és 2^(2x+2)=2^2x*2^2=2^2x*4, ezek alapján ez lesz az egyenlet:

33*2^x/2-2^2x*4=2

Az egyik fenti azonosság alapján 2^2x=(2^x)^2:

33*2^x/2-(2^x)^2*4=2

Az átláthatóság kedvéért legyen y=2^x:

33*y/2-y^2*4=2 (persze azt a kikötést megtehetjük magunknak, hogy y>0, mivel a 2^x függvény értékkészlete a (0;+végtelen) mindkét oldalon nyílt intervallum)

Másodfokú egyenlet, egyenletrendezés és 0-ra redukálás után:

8y^2-33y+4=0

Kiszámoljuk a gyököket (pl. megoldóképlettel): y1=32, y2=1

Itt még persze nem vagyunk kész, mivel a kérdés az volt, hogy milyen x-ekre igaz ez, számoljuk ki:

2^x=32, innen x=5

és

2^x=1, innen x=0

Tehát két megoldása van az egyenletnek, azzal most nem bajlódnék, hogy leellenőrzöm.

Remélem ez alapján a többit már meg fogod tudni oldani.

Legutóbb itt foglalkoztunk (pontosan?)ilyen feladatokkal:

http://www.gyakorikerdesek.hu/kozoktatas-tanfolyamok__hazife..