Melyek azok a természetes számok, amelyeknek pontosan 42db pozitív osztójuk van, és oszthatók 42-vel?

Ha 42-vel osztható, akkor szükségképp 42 osztóival is oszthatók; tetszőleges szám osztóinak a számát úgy tudjuk megállapítani, hogy prímtényezős alakban írjuk fel őket, a prímhatványok kitevőihez hozzáadunk 1-et, majd összeszorozzuk őket:

[link]

42 prímtényezős felbontása: 42=2*3*7, így 42 osztóinak a száma: (1+1)*(1+1)*(1+1)=2*2*2=8. Vagyis ha egy szám 42-vel osztható, akkor legalább 8 osztója van. Nézzük meg, hogy a 8-at mennyivel kellene megszorozni, hogy 42-höz jussunk:

42:8=5,25, vagyis nincs olyan egész, hogy amivel 8-at megszorozva 42-t kapnánk, ebből az következik, hogy a 42-t nem tudjuk olyan számmal megszorozni, hogy annak a prímtényezős felbontásában felírt hatványokhoz hozzáadva 1-et, majd összeszorozva egymással és 8-cal, nem kapunk 42-t.

Tehát nincs olyan szám, ami a feltételeknek eleget tenne.

Jó kezdet után helytelen befejezés.

Gondold át még egyszer a válaszodat. :-)

Melyek azok a természetes számok, amelyeknek pontosan 42db pozitív osztójuk van, és oszthatók 42-vel?

Kezdjük az oszthatósággal.

Ahhoz, hogy a szám osztható legyen 42-vel, a szám törzstényezős felbontásában a 42 törzstényezőinek kell szerepelniük.

Mivel 42 törzstényezős alakban

42 = 2*3*7

ezért a keresett szám törzstényezős alakja

N = 2^a*3^b*7^c

lesz, ahol a, b, c a törzstényezők kitevői.

Most lássuk az osztók számát.

Ennek a szabályát teljesen korrekten írtad le.

A fenti jelöléssel az osztók száma így írható

d(N) = (a + 1)(b + 1)(c + 1) = 42

(A számelméletben d()-vel jelölik az osztók számát.)

Mivel a 42 törzstényezői: 2,3,7

az osztói

1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42

Ezekből össze kell állítani azokat a kombinációkat, melyek szorzata 42-t ad.

A lehetséges változatok:

1*42

2*3*7

2*21

3*14

6*7

Viszont ahhoz, hogy 42-vel osztható legyen a szám, mindhárom törzstényezőnek nullánál nagyobb hatványának kell szerepelni az osztóban.

Ennek a feltételnek csak a 2*3*7 csoport és ennek kombinációi (6 darab) felelnek meg.

Ezek kombinációk:

2*7*3

3*7*2

3*2*7

7*2*3

7*3*2

Akkor lássuk a megoldásokat:

(a + 1)(b + 1)(c + 1) = 2*3*7

vagyis

a + 1 = 2

b + 1 = 3

c + 1 = 7

ezekből

a = 1

b = 2

c = 6

Tehát az egyik megoldás:

N = 2^1*3^2*7^6

Egy másik

(a + 1)(b + 1)(c + 1) = 7*2*3

ebből

a = 6

b = 1

c = 2

így a szám

N = 2^6*3^1*7^2

és így tovább...

Remélem érthető a gondolatmenetem. :-)

DeeDee

**********

Bizonyos értelemben ez is félmegoldás :D Én azért gondoltam, hogy nincs megoldás, mert én csak abban gondolkodtam, hogy más prímtényezőt veszünk hozzá, így legalább 2-vel szorzom a 8-at, majd azt is 2-vel, stb, így nem lehet 42. Úgy értem, hogy a 2*3*7-hez hozzávenném a 11-et, így kapnám a 2*3*7*11 számot, aminek 16 osztója van.

Sőt, jobban belegondolva, ez felvet még egy kérdést; mi van akkor, ha hozzápakolunk ÉS az eredeti prímosztók hatványát is megbabráljuk; például 2*11-gyel szorzom a 42-t. Akkor ki lehet-e hozni belőle valamit?

Ezzel arra akartam kilyukadni, hogy míg én a más számok hozzászorzásával foglalkoztam, addig te "csak" azzal, hogy a meglévőkét hogy tudod növelni. Kíváncsi lennék, erről mi a véleményed :)

Relatív prímekre bontás .42-vel osztható,ha 6-tal és 7-tel is osztható.

6-tal akkor osztható,ha 2-vel és 3-mal is osztható.7-tel akkor osztható,ha a számot végigolvasva az utolsó előttig egybeolvassuk,majd a kapott számból kivonjuk az utolsó dupláját.Ha az eredmény osztható 7-tel,akkor a szám is osztható héttel(pl 357=>35-14=21,357 osztható 7-tel).

42-nek az osztói:1,2,3,6,7,14,21,42,ez 8 szám.Ha mindig vesszük a dupláját,akkor 1-el nő az osztók mennyisége,mivel a soron lévő szám is az osztója lesz az ő duplájának.Tehát ha 42 osztót akarunk,akkor a 42-t még (42-8)-szer kell megduplázni,mivel a 42 db osztóból 8 már ismert.Ebből az jön,hogy 34-szer kell megduplázni a 42-t,ami 2^34-nel való szorzást jelent.

42*2^34=721554505728

Ez egy megoldás,ha van még esetleg másnak egyéb gondolata,azt szívesen meghallgatom:)