Valaki segítene ebben az exponenciális egyenletben?

6.gyök(5^(5x+2))=25^(1/4)

Tudnunk kell a hatványozás azonosságait:

1. azonos alapú hatványok szorzásánál az alapot a kitevők összegére emeljük: a^n*a^m=a^(n+m)

2. hatvány hatványozásánál az alapot a kitevők szorzatára emeljük: (a^n)^m=a^(n*m)

3. törtkitevőjű hatvány esetén a kitevő számlálójával hatványozunk, nevezőjével gyököt vonunk: a^(n/k)=k.gyök(a^n)

Mindkét oldalt emeljük 6. hatványra; mivel a gyökjel alatt biztosan pozitív szám áll, így elhagyható egyrészt a kikötés, másrészt a definíció szerinti abszolutértékjel.

5^(5x+2)=(25^(1/4))^6 /2. azonosság a jobb oldalon

5^(5x+2)=25^(6/4)=25^(3/2) /3. azonosság a jobb oldalon

5^(5x+2)=négyzetgyök(25^3)=125 /1.azonosság a jobb oldalon

5^(5x)*5^2=5^(5x)*25=125 /:25

5^(5x)=5=5^1 /az exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt csak a kitevőkkel kell foglalkoznunk

5x=1, amire x=1/5

Ellenőrzés:

bal oldal: 6.gyök(5^(5*1/5+2)=6.gyök(5^3)=5^(3/6)=5^(1/2)

jobb oldal: 25^(1/4)=(5^2)^(1/4)=5^(2/4)=5^(1/2), tehát a megoldás jó.

Kész vagyunk.