Ezt a logaritmusos egyenletrendszert valaki megoldaná aki elég okos ehhez?

Tudjuk, hogy log(a)[b]=1/log(b)[a] (ez a b alapú logaritmusra való átírással igazolható). Ezen összefüggés tudatában átírhatjuk az egyenletrendszert:

log(4)[x]+log(16)[y]=3/2

1/log(4)[x]+1/log(16)[y]=3

Az áttekinthetőség kedvéért legyen log(4)[x]=f és log(16)[y]=g:

f+g=3/2

1/f+1/g=3

Az első egyenletből g=3/2-f, ezt beírjuk a másik egyenletbe:

1/f+1/(3/2-f)=3 /*f*(3/2-f)

(3/2-f)+f=3*f*(3/2-f) /összevonás

3/2=9f/2-3f^2 /+3f^2-9f/2

3f^2-9f/2+3/2=0 /*2; :3

2f^2-3f+1=0

Másodfokú egyenlet megoldóképletével megoldjuk; f1=(3+1)/4=1 és f2=(3-1)/4=1/2, innen g1=3/2-1=1/2 és g2=3/2-1/2=1 (nem meglepő, hogy ezek a megoldások születtek).

Innen már csak ki kell számolni x és y értékét:

ha f1=log(4)[x], akkor

1=log(4)[x], amire x=4

g1=log(16)[y], akkor

1/2=log(16)[y], amire y=4, tehát x=y=4 az egyik megoldás.

ha f2=log(4)[x], akkor

1/2=log(4)[x], amire x=2

g2=log(16)[y], akkor

1=log(16)[y]m amire y=16, tehát x=2 és y=16 a másik megoldás.