Az 1,2, . ,10 természetes számokat felírjuk egy-egy papírra. Hányféleképpen lehet kihúzni három papírt úgy, hogy a rájuk írt számok összege 3-mal osztható legyen?

Az összeg terjedhet 1+2+3=6-tól 8+9+10=27-ig.

Ezek közül 3-mal osztható 6, 9, 12, ..., 27.

A 6 és a 27 egyféleképpen jöhet ki három különböző számból.

9=1+2+6=2+3+4 kétféleképpen.

Folytasd a 12, 15 és a többi 3-mal osztható szám felbontásaival!

Ennél van átfogóbb megoldás is; tudjuk, hogy az összegben a számok 3-as maradékai is összeadódnak, és ha ez az összeg osztható 3-mal, akkor a maradékok is oszthatók 3-mal, például:

4+8+9=21, ez osztható 3-mal.

4 3-as maradéka: 1

8 3-as maradéka: 2

9 3-as maradéka: 0, ezeket összeadva 1+2+0=3, ami szintén osztható 3-mal, ezért ezen számok összege osztható 3-mal.

Most azt kellene kisakkozni, hogy hány olyan 0;1;2-ből álló háromtagú összeget tudunk kreálni, amikben a számok összege osztható 3-mal, de a sorrend nem számít? Ezek:

000, 111, 222, 012, több nincs (szerencsére).

Írjuk fel a számok 3-as maradékát: 1;2;0;1;2;0;1;2;0;1

1. eset: a maradékok: 000. A kombinatorika módszerével; 3 ilyen szám van, amiből 3-at kell kiválasztani, ez (3 alatt a 3)=1-féleképpen sikerül.

2. eset: a maradékok: 111. Az előző eset alapján 4 ilyen szám van, amiből 3-at kell kiválasztanunk, ez (4 alatt a 3)=4-féleképpen fog sikerülni.

3. eset: a maradékok: 222. Mint az első esetnél; (3 alatt a 3)=1.

4. eset: a maradékok: 012. Ez már egy kicsit több megoldást fog adni; 0 maradékú számot (3 alatt az 1)=3-féleképpen, 1 maradékot adót (4 alatt az 1)=4-féleképpen, 2 maradékút pedig (3 alatt az 1)=3-féleképpen tudunk kiválasztani. Ezeket összeszorozva 3*4*3=36 ilyen számhármas létezik.

Az eseteket összevonva 1+4+1+36=42-féleképpen jöhet ki az összeg úgy, hogy az osztható 3-mal.

Másik, egy kicsit hosszadalmasabb lehetőség (ami nagyobb számok esetén nem valami nyerő, mert tényleg sok számolást igényel, itt is ~300 számot kellene leírni):

Megkeresed a legkisebb 3-mal osztható összeget; ez az 1+2+3, a továbbiakban érdemes háromjegyű számokként felírni: 123, majd mindig hozzáadsz 3-at: 126, 129, 132, ..., így mindig 3-mal osztható összegűeket kapsz. a eljutottál 999-ig, akkor kihúzod az összes olyat, amiben van azonos számjegy, és azokat is, amikben csak a számjegyek vannak átkeverve (például 123 és 132, a mi szempontunkból ugyanaz, ebből az egyiket lehúzod).

De a fenti módszer sokkal időbarátabb.