Valószínűség számításban valaki tud segíteni? Az eredmény is meg van

Hmmm, nekem nem annyi jött ki.

Lehet, hogy valaki majd rájön, hogy miért tévedek, de egyelőre azt hiszem, nem tévedek.

Ez ismétléses permutációs feladat lesz.

Úgy gondolj bele, hogy a Mikulás először jól összekeveri a sorbarakott szaloncukorkat (permutáció), aztán odaadja az első 6-ot. (Ez felel meg annak, hogy a zsákjából vakon kihúzza az első négyet, amit talál.)

Összes esetek száma: Ahányféleképpen össze tudja keverni a 15+13+12 = 40 szaloncukrot. Ez 40 elem 15,13,12-ed rendű ismétléses permutációja: 40!/(15!·13!·12!)

Kedvező esetek száma: Ekkor az első 6-ban van 2 zselés és 4 marcipános. A maradék 34 pedig 13 zselés, 9 marcipános és 12 karamellás.

Az első hat is permutálódhat (szóval sokféle sorrendben állhat), meg az utolsó 34 is. Mindkét szakasz egy-egy ismétléses permutáció. Az összes lehetőségek száma a két szakasz lehetőségeinek a szorzata:

6!/(2!·4!) · 34!/(13!·9!·12!)

A valószínűség pedig ezeknek a hányadosa:

[ 6!/(2!·4!) · 34!/(13!·9!·12!) ] / [ 40!/(15!·13!·12!) ] = 55/2812 = 1,956%

---

Van egy másik meggondolás is, de abból is ugyanez jön ki. Ez talán egyszerűbb:

Mondjuk azt húzza a Mikulás egymás után, hogy m,m,m,m,zs,zs.

Ennek valószínűsége:

1. m: 13/40       (a 40 közül 13 marcipánosból valamelyik)

2. m: 12/39       (már csak 39 közül a maradék 12 marcipánosból valamelyik)

3. m: 11/38       (stb.)

4. m: 10/37

5. zs: 15/36       (most a maradék 36 közül a 15 zselésből valamelyik)

6. zs: 14/35

A sorozat valószínűsége ezeknek szorzata, ami 13·12·11·10·15·14 / (40·39·38·37·36·35)

(érdekes, hogy ez egyébként (13!/9! · 15!/13! ) / (40!/34!), ezek a faktoriálisok az előző megoldásban is előjöttek.)

A két zselés négy marcipános mindegyik más sorrendjének is ugyanez a valószínűsége, ezt könnyű belátni.

A teljes valószínűség így az lesz, hogy ezt még szorozni kell azzal, ahányféleképpen alakulhat a sorrend. Az pedig egyszerű ismétléses permutáció: 6!/(2!·4!)

A teljes valószínűség így is 1,956%

Nem hallottam még róla (vagy az is lehet, hogy tanultam valamikor, de már elfelejtettem), de tényleg, az pont erre való.

Ahogy a képletét nézem, a ploihipergeometrikus eloszlás itt ilyen gondolatmenettel vezethető le elemi úton:

A Mikulás konkrét 6 cukorkát választ végülis, úgyhogy gondolatban számozzuk be őket. Az összes eset az lesz, hogy (40 alatt 6) féleképpen választhatja ki, hogy melyik hatot adja oda.

A hatból már csak az számít, hogy milyen ízesítésűek. A kedvező eset az, hogy (15 alatt 2) féle zselés és (13 alatt 4) féle marcipános van a hatban.

Vagyis a valószínűség: (15 alatt 2)·(13 alatt 4) / (40 alatt 6)

(Ez szintén ugyanazokra a faktoriálisokra alakul végül, szóval az értéke ugyanaz.)