Komplex szamok. Hogyan lehet megoldani a következő feladatokat? 1. Vonjon négyzetgyököt az alábbi számból: 4 (cos pi+ i*sin pi) 2. Sorolja fel a negyedik egységgyököket.

1. Moivre képlete:

Tetszőleges c*(cos(x)+i*sin(x)) n-edik gyöke

n.gyök(c)*(cos((x+k*2π)/n)+i*sin((x+k*2π)/n), ahol k=0;1;2;...;n-1, c a szám távolság 0-tól.

Tehát: gyököt vonunk a szám hosszából, az szinusz és koszinusz argumentumaihoz hozzáadunk k*2π-t, majd a gyökszámmal elosztjuk. K helyére 0-tól n-1-ig be kell írni az összes számot, ezzel megkapjuk a szám összes n-edik gyökét.

A példában:

√(4*(cos(π)+i*sin(π)=2*(cos((π+k*2π)/2)+sin((x+k*2π)/2))

k=0-ra 2*(cos(π/2)+i*sin(π/2)=2*(0+i*1)=2i

k=1-re 2*(cos(3π/2)+i*sin(3π/2))=2*(0+i(-1))=-2i.

Ellenőrzés: négyzetre kell emelni, és ha ugyanazt kaptuk vissza, mint ami eredetileg volt, akkor jól számoltunk.

2. A 4. egységgyök azt jelenti, hogy melyik az a szám, amelynek 4. hatvány 1? Triviálisan az 1 jó megoldás lesz, viszont 4 darab 4. egységgyök van.

Írjuk fel trigonometrikus alakban: 1=1*(cos(0)+i*sin(0)) (0 radián). Ebből kell a fenti képlet alapján 4. gyököt vonnunk:

4.√(1*(cos(0)+i*sin(0))=1*(cos(0+k*2π/4)+i*sin(0+k*2π/4))

k=0-ra cos(0)+i*sin(0)=1 (egységgyök esetén k=0-ra mindig 1 jön ki)

k=1-re cos(π/2)+i*sin(π/2)=i

k=2-re cos(π)+i*sin(π)=-1

k=3-ra cos(3π/2)+i*sin(3π/2)=-i