Hány centisek azon trapéz oldalai, amelynek átlói derékszögűek egymásra, legalább az egyik szöge derékszögű, és nem négyzet?

Kezdjük a trapéz mibenlétével.

"...az egyik szöge derékszög..."

Ha egy trapéz egyik szöge derékszög, akkor van még egy derékszöge, mert az egy száron fekvő szögek összege 180°.

Tehát van egy derékszögű trapézunk, ami még egy különleges tulajdonsággal is bír, mégpedig azzal, hogy az átlói merőlegesek egymásra (nem derékszögűek egymásra).

Hány ilyen trapéz létezik?

Valószinüleg nem fogsz összeomlani, a válasz hallatán, de végtelen sok. :-)

A továbbiak értelmezéséhez lásd a következő ábrát:

[link]

A rajzon a végtelen sokból egy trapézt látsz.

A szerkesztése roppant egyszerű.

1) Meghúzod az 'e' egyenest, majd tőle tetszőleges távolságban (d) az 'f' egyeneset

2) Az 'e' egyenes tetszőleges pontjában (A pont) merőlegest emelsz, amivel elmetszed az 'f' egyenest, így kapod a D pontot.

3) A D ponttól jobbra tetszőleges távolságban felveszel egy pontot (C pont)

4) Az A és C pontot összekötve megkapod az ACD derékszögű háromszöget, melynek az átfogója az AC szakasz.

Mivel ez a szakasz átellenes pontokat köt össze, egyben a leendő trapéz egyik átlója is.

5) Mivel az átlók a feladat szerint merőlegesek egymásra, a D pontból merőlegest húzol az AC szakaszra és ezt meghosszabbítod addig, hogy elmetssze az 'e' egyenest (B pont).

6) A B és C pontot összekötve előállt a feltételeknek megfelelő trapéz (derékszögű merőleges átlókkal)

Ha van kedved, próbáld meg a szerkesztést más méretekkel.

A bizonyítás

"...alapokra merőleges átfogó ..."

A trapéznak nincs átfogója. Vannak alapjai, szárai, átlói és még sok egyéb eleme, stb., de átfogója nincs!

Tehát helyesen "...az alapokra merőleges szár az alapok mértani közepe." feltevés bizonyítása lenne a feladat.

Látszik, hogy a trapézunk tele van derékszögű háromszögekkel, de egy még hiányzik. :-)

Ha a AC átlóval párhuzamost húzol a D ponton keresztül úgy, hogy metszésbe kerüljön az 'e' egyenessel (E pont)

Ezzel létrejött a BDE derékszögű háromszög, melynek befogói a trapéz átlói, átfogója a két alap (c + a) összege.

De ami a lényeg: az alapokra merőleges szár (d) az EB átfogóhoz tartozó magasság, mely az átfogót két részre osztja (c és a)

A derékszögű háromszögre érvényes magasságtétel szerint: az átfogóhoz tartozó magasság az általa felosztott átfogó két részének mértani közepe.

Vagyis

d = √(a*c)

Ez az, amit bizonyítani kellett.

A méretek

"Hány centisek azon trapéz oldalai..."

Egy trapézhoz 4 adat kell az egyértelmű meghatározottsághoz.

A példában szereplő alakzathoz elég lenne megadni a két alap hosszát, mint méretet.

A hiányzó két adat a derékszögű volta, és a merőleges átlók kitétele.

Ezek ismeretében minden oldal, szög és átló számítható.

Remélem elég kimerítő a válasz, ha valami nem világos, kérdezz nyugodtan.

DeeDee

***********