Oldja meg a valós számok halmazán a 3-x/7x<2 egyenlőtlenséget?

Gondolom ez akar a feladat lenni: (3-x)/(7x)<2. Először kikötést kell tennünk; a nevező értéke nem lehet 0, vagyis 7x≠0, vagyis x≠0.

Hozzuk közös nevezőre mindkét oldalt; a közös nevező a 7x lesz:

(3-x)/(7x)=2*7x/(7x) /összevonás

(3-x)/(7x)=14x/(7x)

A tanultak alapján itt most eltűnne a nevező, de ez akkor lenne 100%-osan jó, ha a nevezőben nem lenne negatív; így nem tudjuk a nevező előjelét, belezavarodnánk az esetszétválasztásba. Ugyan esetszétválasztást kell majd végeznünk, de amire kell, annál egyértelmű lesz, hogy mire írjuk fel; vonjuk ki mindkét oldalból 14x/(7x)-et:

(3-x-14x)/(7x)<0 /összevonás

(3-15x)/(7x)<0

A bal oldalon egy tört van a jobb oldalon 0. Egy tört akkor kisebb, mint 0, ha negatív, az pedig akkor valósul meg, ha a számláló és a nevező előjele eltérő (egyik negatív, a másik pozitív, vagy fordítva), ezek alapján írjuk fel az eseteket:

1. eset: a számláló pozitív, a nevező negatív:

3-15x>0, innen 1/5>x

7x<0, innen x<0

Ezt a két megoldást össze kell vetnünk;ahol mindkettő teljesül, ott az egyenlőtlenségnek megoldása lesz, tehát ha x<0, akkor igaz lesz az állítás.

2. eset: a számláló negatív, a nevező pozitív:

3-15x<0, innen 1/5<x

7x>0, innen x>0

Ez a kettő akkor fog teljesülni, ha x>1/5.

Tehát: ha x<0, vagy x>1/5, akkor az állítás igaz lesz, egyébként nem.