Hogyan oldható meg az alábbi matek feladat (trigonometria)?

Egy megoldási lehetőség:

[link]

Habár a konkrét intervalumon jó az eredmény, amit az előző válaszoló csinált.

De azt megjegyzem, hogy minden x=k*pi/2 megoldás nem jó! Például a k=4 esetén ellentmondásra jutunk. Tehát itt hamis gyökök lépnek fel valóban.

Én másképp kezelem a példát: Tudjuk, hogy sin(x) és cos(x) függvények +1 és -1 közt van, ill. periódusuk azonos. (Korlátos)

Az egyenlet jobb oldala -1, tehát elég az alsó korláttal foglalkozni.

Olyan megoldások keresendők tehát, mikor a bal oldali összegfüggvény egyik tagja -1, a másik pedig 0.

Ebből két egyszerű egyenlet adódik:

(1) sin(x)=-1

(2) cos(x)=-1

(1) Megoldása: x=-pi/2+2k*pi

(2) Megoldása: x=pi+2k*pi

Vagyis az i,j bázisrendszerben a megoldások a (-1,0) és (0,-1) pontokban lesznek.

A [0,2pi) intervallumban ezekből valóban az említett

x=pi és

x=1.5 pi a gyökök.

A második gondolkodásmódban az a hiba, hogy túl speciális, s eleve feltételezi, hogy -1,0 számpárok összegéről van szó. Holott elvileg lehetne két közbeeső negatív szám összege is a -1.

Egy másik megoldás:

sin(x)+cos(x)=-1 / /gyök(2) (a bal oldali együtthatók négyzetének gyökével kell osztani)

sin(x)/gyök(2)+cos(x)/gyök(2) = -1/gyök(2) = -gyök(2)/2

gyök(2)/2*(sin(x) + gyök(2)/2*cos(x) = -gyök(2)/2

Megnézzük az együtthatókat, s megkeressük, melyik az a szög, amelynek ezek a paraméterei:(sin=gyök(2)/2; cos=gyök(2)/2 - ez a 45°=pi/4)

Behelyettesítve az egyenlet így alakul:

sin(pi/4)*sin(x)+cos(pi/4)*cos(x) = -gyök(2)/2)

(Az addíciós tétel/azonosság alapján:)

cos(x-(pi/4)) = -gyök(2)/2

1. cos(x-(pi/4)) = cos(225°) =>x = 180° = pi

2. cos(x-(pi/4)) = cos(315°) =>x = 270° = 3pi/2

Ez a két megoldás van a keresett intervallumban. (a periodicitás miatt a +k*2pi is megoldás, de most erre nincs szükségünk.

"Magasabb" matematikában direktben a fázisszögekkel is megoldható. Ha érdekel, keress rá neten.

"A második gondolkodásmódban az a hiba, hogy túl speciális, s eleve feltételezi, hogy -1,0 számpárok összegéről van szó. Holott elvileg lehetne két közbeeső negatív szám összege is a -1. "

Nem lehet két közbeeső negatív szám összege is a -1, mert az részben az azonos periódikusságot, részben pedig a szakaszos szigorúan monotonságot sértené.

Rendben, a hibát visszavonom. Valóban írtad, miért.

A speciális alatt arra gondoltam, hogy nem univerzális. Amit én javasoltam, ott nem használunk ki semmilyen speciális tulajdonságot. Az általad alkalmazott metódus inkább a "jó" matematikusok számára érthető, míg az enyém szerintem bárkinek.