Matekházi? Exponenciális egyenletek.

1. Először is átrendezzük az egyenletet, hogy exponenciális tagok az egyik oldalon, konstansok a másik oldalon legyenek:

3^(4-x) + 3^(x+2) - 730 = 0

3^(4-x) + 3^(x+2) = 730

Majd a másik oldalt is megpróbáljuk exponenciális alakra hozni. Észrevesszük, hogy 730 nem írható fel 3 hatványaként, viszont felírható hatványok összegeként:

3^(4-x) + 3^(x+2) = 729+1 = 3^6+3^0

Innentől fogva már látszik a megoldás, a baloldalon ugyanezeket a kitevőket kell kapni.

(4-x)=6 esetén x1=-2, ekkor x+2=0 is kijön (-2+2=0),

3^(4-(-2) + 3^(-2+2) = 3^6 + 3^0

(4-x)=0 esetén pedig x=4, 4+2=6,

3^(4-4) + 3^(4+2) = 3^0 + 3^6

Nem nevezném tökéletes megoldásmenetnek, de a negatív x-es kitevő miatt ezt láttam a legegyszerűbbnek.

2. (3/5)^(3+x) / 5^3/27 = (25/9)^(x-4)

Minden elemet 3 és 5 hatványra alakítunk:

(3/5)^(3+x) / (5^3 /3^3) = (5^2/3^2)^(x-4)

(3/5)^(3+x) / (5^3 /3^3) = (5/3)^(2(x-4))

(3/5)^(3+x) / (5^3 /3^3) = (5/3)^(2x-8)

Majd szétválasztjuk számszorosra és exponenciális tagra:

(3/5)^3*(3/5)^x / (5 /3)^3 = (5/3)^(-8)*(5/3)^2x

törttel való osztást reciprokkal való szorzássá átírjuk:

(3/5)^3*(3/5)^x * (3 /5)^3 = (5/3)^(-8)*(5/3)^2x

negatív kitevős hatványozást átalakítjuk pozitív kitevősre (a^(-x) = 1/a^x)

(3/5)^3*(3/5)^x * (3 /5)^3 = (3/5)^8 * (5/3)^2x

összeszorozzuk baloldalon a tagokat:

(3/5)^6 * (3/5)^x = (3/5)^8 * (5/3)^2x

Egyszerűsítünk (3/5)^6 -al:

(3/5)^x = (3/5)^2 * (5/3)^2x

(5/3)^2x -t átalakítjuk, hogy azonos alapon legyen:

(Ugyanúgy, ahogy az előbb tettük a -8 kitevővel, megfordítjuk a kitevő előjelét, és megfordul a tört)

(3/5)^x = (3/5)^2 * (3/5)^(-2x)

Azonos alapon van minden tag, A két oldalon a kitevők összegének kell egyeznie (tagok közti szorzás a kitevők közt összeadás lesz):

x = 2-2x

3x=2

x= 2/3

És tessék, meg is oldottuk :)