Segítséget kérnék! Hány olyan háromszög van, melynek minden oldala centiméterben mérve egész szám és a kerülete 16 cm?

írd fel a 16-ot 3 szám összegeként és nézd meg, hogy az lehet-e háromszög (bármelyik 2 oldalának összege nagyobb a 3. oldalnál)

pl 5+5+6, 5+4+7...

Egy háromszög leghosszabb oldala mindig rövidebb, mind a másik kettő összege.

Így a leghosszabb oldal minimum 9 cm.

Azaz lehet 9, 10, 11, 12, 13, 14

A rövidebb oldal közül a hosszabb nem lehet 6 cm-nél hosszabb.

Azaz lehet 1,2,3,4,5,6

Ezekből egy mátrixot (táblázatot) leírva kijön a harmadik oldal, és így megvan hogy hány lehet:

1 2 3 4 5 6

14 1 - - - - -

13 2 1 - - - -

12 3 2 1 - - -

11 4 3 2 1 - -

10 5 4 3 2 1 -

9 6 5 4 3 2 1

db: 6 5 4 3 2 1

összesen: 21 db

DE CSAK AKKOR, HA pl.: a 9,6,1 és a 9,1,6 különbözőnek vesszük.

Mert ha nem, akkor kiesik 9 db, és marad 12 db.

Nem jó a kiindulás, így a megoldás sem.

Legyen egy háromszög három oldala a, b, c és legyen a < b < c, vagyis a leghosszabb oldal a 'c'.

A kerület

K = a + b + c

Kicsit átrendezve, a leghosszabb oldalt a másik oldalra téve

K - c = a + b

A háromszög egyenlőtlenségből adódóan

a + b > c

Ezért az előző egyenlet így alakul

K - c > c

Rendezve

K > 2c

K/2 > c

mivel

K/2 = s

ezért

s > c

vagy megfordítva

c < s

====

ami azt jelenti, hogy három szakaszból akkor lehet háromszöget szerkeszteni,

ha a LEGHOSSZABB oldal KISEBB a fél kerületnél!

Ez tulajdonképpen a háromszög egyenlőtlenség egy átfogalmazott formája, és adott esetben könnyebben alkalmazható.

A feladatban

K = 16

így

s = 8

tehát a háromszög leghosszabb oldala ennél kisebb, és mivel egész szám lehet az oldalak hossza, ezért

c < 8

vagyis

c = 7

A másik két oldalra így marad

a + b = 16 - 7 = 9

Ez felbontható 4 + 5 formában és ebből látható, hogy csak 4 különféle háromszög képezhető a megadott feltételekkel.

Ezek

7 - 1 - 8

7 - 2 - 7

7 - 3 - 6

7 - 4 - 5

DeeDee

**********

a 2. válaszoló megoldása egyáltalán nem jó

és a 3-é is hibás

pl a 7,1,8 oldalú nem is lehet háromszög, hiszen 7+1=8 vagyis nem is szerkeszthető meg

de pl az 5,5,6 meg jó, mert egyáltalán nem muszáj 7-nek lennie az egyik oldalnak

Jogos a kritika, kissé elhamarkodtam a választ.

A

7 - 1 - 8 trió kiesik, helyette jön kettő, mégpedig

6 - 4 - 6

és

6 - 5 - 5

Ezekkel a teljes készlet, vagyis a különböző oldalú háromszögek halmaza:

7 - 2 - 7

7 - 3 - 6

7 - 4 - 5

6 - 4 - 6

6 - 5 - 5

7-nél nagyobb és 2-nél kisebb oldal nem lehet, ezért a

2, 3, 4, 5, 6, 7 készletből lehet választani.

Azok a méretek (x), melyekre érvényes, hogy

2x <= s

nem ismétlődhetnek, ezért csak az 5, 6, 7 méret szerepelhet kétszer egy trióban.

Ezek alapján volna valakinek ötlete, hogy lehetne a megoldást kombinatorikai eszközökkel megfogalmazni?

DeeDee

**********