Valaki meg tudja oldani ezt a két feladatot (Matek)?

1)

Lehet, hogy van egyszerűbb megoldás is, én ezt találtam ki:

Először pici átalakítás:

1 + 14(n alatt 1) + 36(n alatt 2) + 24(n alatt 3) = (n+1)⁴ - n⁴

14(n alatt 1) + 36(n alatt 2) + 24(n alatt 3) = (n+1)⁴ - n⁴ - 1

14(n alatt 1) + 36(n alatt 2) + 24(n alatt 3) = 4n³ + 6n² + 4n

A jobb oldalon n természetesen ugyanaz, mint (n alatt 1).

n² mondjuk azon lehetőségék száma, ahányféleképpen ki lehet színezni 2 tárgyat n szín felhasználásával. Ugyanezt máshogy összeszámolva:

- (n alatt 2) módon választhatunk ki 2 színt, amiket 2-féle sorrendben használhatunk fel

- valamint kiszínezhetjük ugyanolyan színűre is n féleképpen.

Vagyis n² = 2·(n alatt 2) + n

n³: három tárgy kiszínezése n színnel. Máshogy számolva:

- (n alatt 3) féleképpen választhatunk ki 3 színt, amiket 3!=6-féle sorrendben használhatunk fel

- (3 alatt 2) = 3-féleképpen választhatjuk ki,. hogy melyik kettőt színezzük egyformára, a harmadikat pedig más színre. A kétféle színt (n alatt 2) féleképpen választhatjuk ki, és 2-féle sorrendben használhatjuk fel. Vagyis 3·(n alatt 2)·2 az ilyen színezések lehetséges száma

- valamint kiszínezhetjük ugyanolyan színűre is n féleképpen.

Vagyis n³ = 6·(n alatt 3) + 6·(n alatt 2) + n

|Ezekkel pont kijön a bizonyítandó összefüggés.

2) (1 - x² - x³)^10, mennyi x⁹ együtthatója?

A kifejtett hatványkifejezés egy tagja úgy jön ki, hogy a tíz szorzótényezőben valahányszor az 1-et, máshányszor a -x²-et, a maradék alkalmakkor pedig a -x³-t választjuk. Ha mondjuk 8-szor az 1-et, egyszer a (-x²)-et, egyszer pedig a (-x³)-t választjuk, akkor a tag az x⁵ lesz.

x⁹ így állhat elő (az 1-es szorzókat nem írom bele):

a) (-x³)·(-x³)·(-x³), ez -1 együtthatót jelent

b) (-x³)·(-x²)·(-x²)·(-x²), ez +1 együtthatót jelent

Más lehetőség nincs.

a) (10 alatt 3) lehetőség

b) 10·(9 alatt 3) lehetőség [ugye érthető, hogy miért?]

Vagyis az együttható 10·(9 alatt 3) - (10 alatt 3)