1. Hány olyan 1000-nél kisebb pozitív egész szám van, amely felírható két páros szám szorzataként?

1/(1/14+1/x)=10

10/14+10/x=1

x=35

1. Tegyük fel, hogy a keresett szám p*q alakú (p és q egész). Tudjuk, hogy p és q páros, tehát legyen p=2*k és q=2*l, ahol k és l egész számok (a 2* biztosít minket arra, hogy a szorzat páros lesz, mivel 2*valami/2=valami, és ha valami egész, akkor a 2-vel oszható a szorzat (definíció szerint)). Ezek szorzata így:

p*q=2*k*2*l=4*k*l. Erről a számról tudjuk, hogy osztható 4-gyel, mivel 4*k*l/4=k*l, és mivel k és l egészek, ezért k*l is biztosan egész.

Következésképp, ha egy szám felírható két páros szám szorzataként, akkor maga a szám osztható 4-gyel. Tehát csak azokat a számokat kell meghatároznunk, amelyek oszthatóak 4-gyel.

A legkisebb 1000-nél kisebb pozitív egész szám a 4, a legnagyobb a 996 (az 1000 lenne, de az nem kisebb 1000-nél, ebből levonva 4-et kapjuk az az előtti 4-gyel osztható egészet).

Tehát ezeknek a számoknak a számossága kell: 4, 8, 12, 16, ..., 996

Két lehetőségünk van:

1. Vegyük észre a következőt:

Az 1. szám a 4; 4=4*1

A 2. szám a 8; 8=4*2

A 3. szám a 12; 12=4*3

.

.

.

Tehát, ha a 4-et beszorozzuk a szám sorszámával, akkor megkapjuk a számot:

az n-edik szám ezzel 4*n lesz. Tudjuk, hogy a legnagyobb ilyen szám a 996:

4*n=996 /:4

n=249, tehát a fenti megállapítás alapján:

A 249. szám a 996; 4*249=996.

2. Ezt akkor tudjuk alkalmazni, ha már tanultátok a számtani sorozattal kapcsolatos dolgokat; látható hogy ezeknek a számoknak a szomszédukkal vett különbsége 4, tehát ez egy számtani sorozat, ahol a differencia d=4. A sorozat első tagja a(1)=4, a sorozat n-edik tagja a(n)=996. Kérdés az n, vagyis a 996 hányadik a sorban (mivel az az utolsó, ezért ennek a sorszáma adja meg, hogy hány olyan szám van, ami megfelel a feltételeknek).

A tanult képlet alapján:

a(n)=a(1)+(n-1)*d, behelyettesítünk:

996=4+(n-1)*4 /-4

992=(n-1)*4 /:4

248=n-1 /+1

249=n

Tehát 249 ilyen szám van.

Remélem ebből sikerül mindent megértened, ha mégsem, kérdezz bátran! :)