Teljes indukció megoldás?

Megjegyzés: kicsit máshogy érdemes a hatványt zárójelezni, így: x^(n+1). A többi jó.

Megnézzük n=0 esetére:

x^1 - 1·x + 0 = 0, ami ≥ 0, rendben van.

Feltételezzük, hogy n=k-ra teljesül, vagyis az indukciós feltétel ez:

x^(k+1) - (k+1)·x + k ≥ 0

Megnézzük, hogy teljesül-e n=k+1-re?

Ez a bal oldal:

x^(k+2) - (k+2)·x + k+1

= x·x^(k+1) - (k+1)x - x + k + 1

= (x-1)·x^(k+1) + x^(k+1) - (k+1)x - x + k + 1

= (x-1)·x^(k+1) + [x^(k+1) - (k+1)x + k] - x + 1

≥ (x-1)·x^(k+1) - x + 1        (mivel a [ ] közötti kifejezés az indukciós feltétel szerint ≥ 0)

= (x-1)(x^(k+1) - 1)

Ez pedig:

- ha x>1, akkor mindkét tényező pozitív, tehát a szorzat pozitív

- ha x=1, akkor = 0

- ha 0<x<1, akkor mindkét tényező negatív, tehát a szorzat pozitív

Vagyis beláttuk, hogy n=k+1-re is ≥ 0 a kifejezés értéke.