Hogyan kell megoldani? Igazold Ceva tételével, hogy a háromszög oldalfelezői, szögfelezői és magasságai összefutó egyenesek. (3 külön rajzon kell. a rajzzal nem is lenne baj, de hogyan lehet igazolni? ) Ceva tétele:A'B/A'C * B'C/B'A * C'A/C'B =1 .

Oldalfelező alatt valószínű nem az oldalfelező merőlegest, hanem az oldal felezőpontját a szemközti csúccsal összekötő szakaszt (vagyis a súlyvonalat) értette a feladat. A Ceva tételhez ugyanis a csúcspontokon átmenő szakaszok kellenek, az oldalfelező merőleges viszont nem megy át a csúcsponton.

Szóval súlyvonalak:

Ez a legegyszerűbb, hisz minden felezve van.AC' = C'B, így a hányadosuk 1. Ugyanígy a többi hányados is 1, amiknek a szorzata természetesen 1. Ezért a Ceva tétel szerint egy pontban metszi egymást a három súlyvonal (vagyis összefutó egyenesek).

Szögfelezők:

Először egy segédtétel: a szögfelező olyan arányban metszi a szemközti oldalt, mint a szög melletti oldalak aránya.

Bizonyítás: (de lehet, hogy tanultátok is...)

Nézzük mondjuk az A csúcsnál lévő AA' szögfelező egyenest. A felezett szögek: BAA' = A'AC = α/2

Húzzunk AA'-vel párhuzamosat a C csúcson át. Ez a párhuzamos a D pontban metszi az AB egyenest. A párhuzamosok miatt az ACD szög éppen α/2 és az ADC szög is α/2. Ezért az ACD háromszög egyenlő szárú, vagyis AC=AD.

Végül az AA'B és a DCB háromszögek hasonlóak, ezért felírható rájuk ez az arány:

AB/A'B = AD/A'C

Mivel AD = AC, ezért A'B/A'C = AB/AC

A segédtétel bizonyítása kész.

Mindhárom szögfelezőre fel lehet ezt írni. Ha összeszorozzuk a hármat azt kapjuk, hogy AB/AC · BC/BA · CA/CB, ami pedig 1. Kész.

Magasságok:

Itt is hasonló háromszögeket kellene keresni. Az α szög meg egy derékszög például benne van ebben a két háromszögben:ACC' és ABB', vagyis AC'/AC = AB'/AB. Átrendezve: AC'/AB' = AC/AB.

Ugyanígy a másik két csúcsnál is kijön, hogy BA'/BC' = BA/BC illetve CB'/CA' = CB/CA. Ezeket összeszorozva:

AC'/AB' · BA'/BC' · CB'/CA' = AC/AB · BA/BC · CB/CA

A jobb oldal éppen 1, a bal oldal pedig átrendezve:

AC'/C'B · BA'/A'C · CB'/B'A

ami a Ceva tétel bal oldala.

(Neked nem ilyen sorrendben volt felírva a Ceva tétel, de én jobb szeretem így, mert ekkor simán körbe kell menni a háromszögön és pont így jönnek a szakaszok egymás után...)