Egy kör egyenlete x^2+y^2=4 és egy x+2y=c egyenletű egyenes érinti a kört, határozzuk meg az egyenes és a koordináta tengelyek által bezárt háromszög területét! Mi a megoldás?

Koordinátageometria.. nem nagyon szeretem :D

Ha jól gondoltad, akkor nem fecsérelném az időt azzal, hogy leírom a saját (talán túlkomplikált) levezetésemet, az egyenes egyenletére x+2y=8/gyök(5) jött ki, a területre 16/5 négyzetegység. (Elég kerek értékek jöttek ki a vége felé, így szerintem jók, de fejben számoltam az egészet, szóval nem mennék 100%-ra)

Alapvetően azt csináltam, hogy megállapítottam, hogy a felírt kör az origóból eredő 2 sugarú kör, az egyenesben pedig túl sok ismeretlen van, hogy első körben pontosan megállapíthassuk, de a meredeksége -1/2. Így van egy meredekségünk, és tudjuk, hogy az egyenes érinti a kört valahol, ha pedig érinti, akkor a kör érintőpontba húzott sugara merőleges lesz az egyenesre. Mivel az origó a kör középpontja így egy egyszerű, 2 egység hosszú normálvektort kell húzni az egyenesre. Mivel az egyenes meredeksége -1/2, a vektor meredeksége 2 lesz.

Tehát a=(2x,x) vektor, aminek |a|=2, tehát

gyök( (2x)^2+x^2)=2

gyök(5*x^2)=2

gyök(5)*x=2

x=2/gyök(5)

Így a vektor a=(4/gyök(5),2/gyök(5))

Ez az érintőpontot határozza meg, tehát az x=4/gyök(5) y=2/gyök(5) pont rajta van az egyenesen.

Így az x+2y=c egyenletbe ezt behelyettesítve:

4/gyök(5)+ 2*2/gyök(5)=c

8/gyök(5)=c

Megvan már c értéke. az egyenletünk tehát x+2y=8/gyök(5).

Most meg kéne határozni a tengelyekkel alkotott háromszög területét. Ez ugyebár egy derékszögű háromszög lesz, aminek területét könnyű kiszámolni, (a*b)/2, ahol a és b a befogók. Tehát kellenek a befogók értékei. Ezt egyszerű, csak meg kell határozni, hogy hol metszi az adott tengelyeket, tehát x=0 illetve y=0 eseteket kell megnézni:

x=0:

0+2y=8/gyök(5)

y=4/gyök(5)

y=0:

x+2*0=8/gyök(5)

x=8/gyök(5)

Legyenek akkor a befogók a és b, a=8/gyök(5), és b=4/gyök(5).

(a*b)/2=( 4/gyök(5) * 8/gyök(5) )/2= (32/5)/2= 16/5.

És lám, megvan a terület. Úgy tűnik jól számoltam :)

Ha van egyszerűbb megoldás, bocsi, nekem ez jutott eszembe, mint mondtam,a koordináta geometria nem a kedvenceim egyike.

Egy másik megoldás itt készül:

[link]

Jelenleg itt tartok, ha haladok frissítem az oldalt.

Oh, shit, csináltam egy hibát.

A normálvektor nem (2x,x) hanem (x,2x), hiszen akkor 2 a meredeksége. x értéke ettől nem változik, viszont az egyenletbe visszahelyettesítve már 2/gyök(5)+2* 4/gyök(5)=c lesz, így c= 10/gyök(5)

Így a x=0 és y=0 helyeken y=5/gyök(5) és x=10/gyök(5) jön ki, ergo a terület (5/gyök(5)*10/gyök(5))/2=(50/5)/2= 5 lesz. Elvileg.

Geogebrát valamiért nem nagyon szeretem. Hasznos, hogy vizuális felület társítható a megoldáshoz, de mégis... :D

#2 válaszoló vagyok.

A linkelt dinamikus ábrán látszik, hogy két megoldás van:

+gyök(20)=+2*gyök(2) és

-gyök(20)=-2*gyök(2)

Bocs ! Elírtam:

+gyök(20)=+2*gyök(5) vagy

-gyök(20)=+2*gyök(5).

A feladat

x² + y² = 4 - kört érintő

x + 2y = c - egyenes által

T = ? - a tengelymetszetek által meghatározott terület

Az egyenes egyenletéből a tengelymetszetek

Az x tengelyen

y = 0

így

a = c

Az y tengelyen

x = 0

így

b = c/2

A kérdéses terület egy derékszögű háromszög területe:

T = a*b/2

T = c*(c/2)/2

T = c²/4

A 'c' meghatározásához van egy derékszögű háromszögünk, a befogóinak aránya 1:2, az átfogóhoz tartozó magasság 2.

A dhsz átfogóhoz tartozó magassága:

m = a*b/c

A két befogó ismeretében számítható az átfogó és aztán a lehet behelyettesíteni.

Az átfogó lesz

m² = c² + (c/2)²

m = (c√5)/2

Behelyettesítés, egyszerűsítés után

m = c/√5

De ez a magasság azonos a kör sugarával, tehát

2 = c/√5

ill

c = 2√5

Ezzel a keresett terület

T = c²/4

T = (2√5)²/4 = 20/4

T = 5

====

DeeDee

************