Segítség! Lehet-e két páratlan szám négyzetének összege is egy egész szám négyzete? Indokolj!

Ha két páratlan négyzetszám összege biztosan páros, már pedig ha ez a szám négyzetszám, akkor az a minimum, hogy 4-gyel osztható.

Nézzük a négyzetszámok összegének 4-es oszthatóságát, ehhez a tagok 4-es oszthatóságát nézzük meg.

Nem nehéz kitalálni, hogy egy páratlan szám 4-es maradéka 1 vagy 3 lehet, vagyis 4k+1 vagy 4k+3 alakú számok. Nézzük meg ezek négyzeteinek 4-es maradékát:

(4k+1)^2=16k^2+4k+1, ebből 16k^2 osztható 4-gyel, 4k is, így 1 maradékot kapunk.

(4k+3)^2=16k^2+24k+9, ebből 16k^2 osztható 4-gyel, 24k is, 9 4-es maradéka 1.

Tehát akárhogyan választjuk meg a páratlan négyzetszámokat, a 4-es maradék mindig 1 lesz, így az összegük maradéka 2 lesz, ami pedig nem osztható 4-gyel.

Tehát két páratlan négyzetszám összege nem lehet négyzetszám.

Legyen a két szám

a = 2n - 1

b = 2m - 1

a² + b² = 4n² - 4n + 1 + 4m² - 4m + 1 = 4[n(n - 1) + m(m - 1)] + 2

Látható, hogy az összeg nem osztható néggyel.