Matek bizonyítás! Valaki ügyes tudna segíteni?

Koordinátageometriából kell tudni a harmadolópont képletét; értelemszerűen itt a második koordináta 0 lesz, így csak az elsővel kell foglalkoznunk:

H(1)=(2a+b)/3

H(2)=(a+2b)/3, ahol a és b a két kiválasztott szám.

Tehát azt kell belátni, hogy a 4 szám között biztosan van olyan, amelyet ha kétszer veszünk, majd egy másikat hozzáadjuk, majd osztjuk 3-mal, akkor egész számot kapunk. Ez pedig csak akkor lehet, ha valamelyik 3-as maradékhoz találunk egy másik számot. Érdemes táblázatot készíteni:

a 3-as maradéka | b 3-as maradéka | 2a+b 3-as maradéka osztható 3-mal?

(a végére mehet még az a+2b osztható 3-mal is, csak így sem tudom, hogy hogyan fog megjelenni a válaszom)

Végignézed az összes lehetséges módot (nincs belőle túlzottan sok), és kész is vagy.

Mint írtam, ez a koordináta-geometriából jön, azon belül is a szakasz osztópontjának képletéből.

Ha a számegyenesen veszünk két pontot, akkor az olyan, mintha a koordináta-rendszerben (a;0) és (b;0) pontokat választanánk ki. Ezek meghatároznak egy szakaszt, a képlet alapján az osztópont koordinátái:

-x(1): (2a+b)/3

-y(1): (2*0+0)/3=0

Tehát az egyik harmadolópont a ((2a+b)/3;0) pont. Ezentúl azt is tudjuk, hogy ez az (a;0) ponthoz van közelebb.

Ugyanígy, a másik harmadolópont koordinátája is kijön:

-x(2): (2b+a)/3

-y(2): (2*0+0)/3=0, vagyis a harmadolópont koordinátái: ((2b+a)/3;0)

A feladat szerint ha kiválasztunk tetszőlegesen 4 egész számot, akkor biztosan lesz 2 olyan, hogy az azok által meghatározott szakasz harmadolópontjai (c(1);0) és (c(2);0), ahol c(1) és c(2) is egész szám.

Ha már újból válaszolok, akkor levezetem a bizonyítást. Jobban meggondoltam, és lehet, hogy amit írtam, az nem teljesen fedi a valóságot; még egy oszlopba kellett volna az, hogy milyen 3-as maradékú számok lehetnek. Az pedig a számelmélet sajátja, hogy ha összeadunk/szorzunk számokat egymással, akkor a maradékok hogyan változnak.

Nem nehéz kitalálni (a skatulya-elv miatt), hogy ha van 4 számunk, akkor biztosan lesz legalább 2 szám, melyeknek a 3-as maradéka ugyanaz lesz. Ha van egy kis szerencsénk, akkor ezek a számok pont jók lesznek nekünk:

-a és b számok maradékai 0:

a maradéka 0 -> 2a maradéka 2*0=0 -> 2a+b maradéka 0+0=0 -> (2a+b/3)/3 maradéka 0 -> (2a+b)/3 egész szám.

Tehát ha van 2 darab 3-mal osztható számunk, akkor nyerők vagyunk.

-a és b számok maradékai: 1:

-a maradéka 1 -> 2a maradéka 2*1=2 -> 2a+b maradéka 2+1=3 -> (2a+b)/3 biztosan egész lesz, mivel a maradék osztható 3-mal (remélem ezt nem kell külön taglalnom)

-a és b számok maradékai: 2:

a maradéka 2 -> 2a maradéka 2*2=4 -> 2a+b maradéka 4+2=6 -> (2a+b)/3 biztosan egész lesz az előzőek miatt.

(2b+a)/3-ra ugyanez a forgatókönyv.

Tehát biztosan ki tudunk választani 2 számot úgy, hogy azok által meghatározott szakaszon a harmadolópontok egész számok.

Jó lenne tudni, hogy hányadikos vagy, mert lehet, hogy a koordinátageometriát még nem vettétek, és ezért nem tudod ezt, amit írtam. Ha így lenne, akkor biztosan van egyszerűbb megoldás is, én egyelőre csak ezt találtam.

Nem kell belevenni a koordinátageometriát, egyszerűbb a nélkül.

Odáig rendben, hogy a skatulyaelv szerint lesz legalább két szám, amiknek a 3-mal vett maradéka azonos. Vagyis az egyik szám (a nagyobbik) a=3x+m, a másik (a kisebbik) b=3y+m (ahol m a maradék). A közöttük lévő összekötő szakasz hossza a két szám különbsége, vagyis a-b=3x-3y. Az osztható 3-mal, tehát a harmada (ami x-y) egész. A harmadolópontok b+(x-y) és b+2(x-y) így egész számok.

A skatulyaelv csak egy elnevezés, bár annak egész szemléletes. Nem nagyon lehet megtanulni, mert nem egyformán lehet használni, feladatfüggő. Ennél a feladatnál egyszerű: Mivel harmadolásról van szó, ezért gyorsan a 3-mal való osztásra gondol az ember, akkor pedig az osztás maradéka pár ilyesmi feladat megoldása után már gyanús lesz az embernek, hogy abba érdemes belegondolni. Szóval 3-féle maradék lehet (0, 1, 2), és mivel 4 számunk van, tuti nem lehet a maradék csupa különböző. Vagyis lesz a 4 szám közül kettő (pontosabban legalább kettő), aminek azonos a maradéka.

Ennyi volt a skatulyaelv, utána már csak számolás, ahogy írtam.