Írjuk fel az egyenes egyenletét, ha P (7;-2) és x tengellyel bezárt szöge 60 °?

Mindenféle vektorok meg hasonlók helyett térjünk vissza az általános iskolás tananyaghoz.

Még az elején a lineáris függvényeket így jelöltük:

x|->5x+3

Vagyis x-hez hozzárendeljük azt az értéket, amit az 5x+3-ból nyerünk. Például ha x=3, akkor

3|->5*3+3=18-at rendeljük a 3-hoz. Ezt úgy jelöltük koordináta-rendszerben, hogy az origóból elléptünk a 3-ig, és onnan 18-at felfelé (negatív szám esetén lefelé léptünk).

A függvényt úgy ábrázoltuk, hogy készítettünk egy táblázatot, és ábrázoltuk az így kapott pontokat:

x...|-3 |-2|-1| 0| 1| 2| 3

5x+3|-12|-7|-2| 3| 8|13|18

(Lehet, hogy el fognak csúszni, de gondolom érted.)

Azt mondtuk, hogy ennek a függvénynek a meredeksége annyi, amennyit ha 1-gyel jobbra lépünk akármelyik x-től, változik a függvény értéke. Ebben az esetben ha -3-ról -2-re lépünk, akkor a függvény értéke -12-ről -7-re változik, vagyis 5-tel nőtt. Ezt akármelyikkel eljátszhatjuk, és tényleg 5-tel fog nőni.

Nem véletlen, hogy ez az 5-ös megtalálható az 5x+3-ban is; emiatt könnyedén le tudjuk olvasni a hozzárendelési szabályból, hogy mennyi a meredeksége: annyi, amennyivel x-et beszoroztuk (ezt úgy mondjuk szépen, hogy x együtthatója).

Az elsőnél így csak az a kérdés, hogy ha 1-et lépünk jobbra, akkor mennyit kell felfelé lépnünk ahhoz, hogy a kiindulási pontból 60°-os szöggel lépjünk el?

Első körben csak jobbra és felfelé lépjünk. Ha így van, akkor tudunk egy derékszögű háromszöget rajzolni, ahol az egyik befogó 1 egység (az előzőekben leírtak miatt praktikus így választani), ez a 60°-os szög melletti befogó, és a másik befogó a kérdés.

Ha ezt a háromszöget tükrözzük a függőleges befogóra, akkor egy szabályos háromszöget kapunk, mivel így mindhárom szöge 60°-os lesz. Ennek a háromszögnek minden oldala így 2 egység hosszú lesz, tehát a derékszögű háromszög átfogója 2 egység. Ezzel a függőleges befogó hossza kiszámolható Pitagorasz tételéből: gyök(3) egység. Ez lesz az egyenesünk meredeksége.

Igen ám, de végtelen sok ilyen egyenes van; mi azt akarjuk konkrétan, hogy a (7;-2) ponton haladjon át az egyenes. Ha így írjuk fel az egyenletet:

y=gyök(3)*x+b,

akkor már csak b értéke a kérdés. Tudjuk, hogy ha 7-et írunk be x helyére, akkor a függvény értéke -2 lesz. Írjuk be tehát ezeket x és y helyére:

-2=gyök(3)*7+b

Ebből egyszerű egyenletrendezéssel kapjuk, hogy b=-2-gyök(3)*7

Tehát a keresett egyenlet: y=gyök(3)*x-2-gyök(3)*7

Ennek az egyenesnek a meredeksége tényleg gyök(3) az előzőekben tárgyalt alapján, és x=7-re y=-2-t ad, vagyis áthalad a (-2;7) ponton.

Viszont nemcsak a növekedő függvények zárnak be 60°-os szöget az x-tengellyel, hanem a csökkenőek is. Az előbb jobbra léptünk és fel, akkor most jobb után lefelé tartsunk. Ugyanúgy gyök(3) lesz a függőleges hossza, de mivel lefelé léptünk, ezért a meredekség gyök(3) helyett -gyök(3) lesz. Ugyanazzal a metódussal, mint az előbb:

-2=-gyök(3)*7+b, vagyis -2+gyök(3)*7=b, ezzel a függvény:

y=-gyök(3)*x-2+gyök(3)*7.

Ez a két megoldás van csak.

2. A vektor azt jelenti, hogy egy adott pontjából 4-et kell jobbra lépnünk és 3-at lefelé. Ha 1-et lépünk jobbra, akkor mennyit kell lefelé lépnünk? A válasz: 3/4-et. Tehát a függvény meredeksége -3/4. Az előzőek alapján:

-2=(-3/4)*(-3)+b, innen 1/4=b, tehát a függvény: y=(-3/4)*x+(1/4).

3. És újra:

1=(-2/5)*3+b, vagyis 11/5=b, tehát: y=(-2/5)*x+(11/5).

szvsz 2. válaszoló kicsit túlbonyolította

elsőre skalárszorzat

másodikból normálvektor

hatmadikra irányvektoros egyenlet

negyedik meg a középpontjuk és a két pontot összekötő vektorral normálvektoros egyenlet