Ki lehet számolni az alábbi határértéket a L'Hospital szabály használata nélkül?
A (x * cos(x) - sin(x)) / (x^3) hatérértéket igyekszem kiszámolni, mikor x tart a 0-hoz, ami így a 0/0 határozatlan esetet eredményezi. Ez nem is gond, a L'Hospital szabály segítségével elég könnyen megkaptam azt az eredményt, ami a WolframAlpha böngészése után helyesnek is bizonyult. A kérdésem az volna, hogy ki lehet számolni a határértéket ezen szabály igénybevétele nélkül? Sokat próbálkoztam, de sosem jutottam eredményre, mert a számláló fokszáma kisebb, mint a nevezőé, és még a
lim (x -> 0) sin(x)/x = 1 és
cos x = 1 - 2*(sin(x))^2
összefüggések használata után is maradt a nevezőben "gazdátlan" x. Ez a L'Hospital szabály használata után eltűnt, de nagyon furdalja az oldalamat, hogy meg lehet-e oldani anélkül is a feladatot, mivel ezt a megoldást egyáltalán nem tartom elegánsnak.
Köszönöm a válaszokat előre is!
válasza:Alkalmazd a tört tagjaira a Taylor-formulát. Itt én használom az ordó szimbólumot. (Persze lehet, hogy ez sem lesz elegáns.)
x * cos(x)=x-x^3/2+O(x^5); sin(x)=x-x^3/6-O(x^5)
x^3=x^3+O(x^5).
(x * cos(x) - sin(x)) / (x^3)=(x-x^3/2+O(x^5)-x+x^3/6+O(x^5))/(x^3+O(x^5))=(-x^3/3+O(x^5))/(x^3+O(x^5))-->-1/3.
Gondolkozom mit lehet még csinálni, szombat estig vissza jelzek még. Üdv.: Sz. Gy.
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!