Egy 2,5 m magas szabályos hatszög alapú egyenes hasáb, amelynek oldalait és a tetejét kell befesteni. Mekkora a hasáb alapéle, ha a befestendő felület 6,42 m^2?

6,42m^2 = hatszög területe + 6 * téglalap területe

6,42m^2 = (3/2) * (a^2) * √3 + 6 * a * 2,5m

Ha megoldod, (kerekítve) 0,4m jön ki.

Tudjuk, hogy a befestendő felület 6 egybevágó téglalapból és egy hatszögből áll. A téglalap élei megegyeznek a testmagassággal és az alapélekkel. Ha a test alapéle x, akkor a téglalap területe 2,5*x, ebből van 6, tehát azok összterülete (vagy másképp: a palást területe) T(palást)=6*2,5*x=15*x négyzetméter.

Már csak a szabályos hatszög területét kell kiszámolnunk; ha egy síkidom túl bonyolult, akkor területét érdemes úgy kiszámolni, hogy feldaraboljuk olyan alakzatokra, melyeknek ki tudjuk számolni a területét. Erre ez a legegyszerűbb módszer: kössük össze a csúcsokat a hatszög középpontjával, ekkor 6 darab egyenlő szárú háromszöget, amik ráadásul egybevágóak is. Azt is tudjuk, hogy a hatszög középpontjában teljes szög, vagyis 360°-os szög van, ezt osztottuk fel 6 egyenlő részre, vagyis a behúzott szakaszok hajlásszöge 60°. Mivel ezek egyenlő szárú háromszögek, ezért a másik két szög nagysága egyenlő (ß), és mivel a belső szögek összege 180°, ezért felírhatjuk a következő egyenletet:

60°+ß+ß=180°, vagyis ß=60°.

Ez azt jelenti, hogy a háromszög minden szöge ugyanakkora, vagyis a háromszög szabályos háromszög, tehát az újonnan behúzott szakaszok hossza is x. Ennek tudatában ki tudjuk számolni a háromszög területét; húzzuk be a magasságvonalát, ez legyen m. Ezzel a háromszöget 2 derékszögű háromszögre bontottuk, ahol az átfogó x, a befogók m és x/2. Pitagorasz tételét felírjuk:

(x/2)^2+m^2=x^2, erre m=gyök(3)*x/2, így a háromszög területe:

T(háromszög)=a*m(a)/2=x*(gyök(3)*x/2)/2=x^2*gyök(3)/4 négyzetméter. Mivel 6 ilyen háromszög alkotja a hatszöget, ezért a hatszög területe ennek a hatszorosa, vagyis

T(hatszög)=6*T(háromszög)=1,5*gyök(3)*x^2 négyzetméter.

A 6 téglalap és a hatszög összterületét adták meg, 6,42 négyzetméter, tehát

T(palást)+T(hatszög)=6,42

15*x+1,5*gyök(3)*x^2=6,42

1,5*gyök(3)*x^2+15*x-6,42=0

Reményeim szerint ez már menni fog.

Szabályos hatszög területe:

T = (3/2) * (a^2) * √3

De a #2-es válaszoló elmagyarázta háromszögekkel is.

Elolvastad, amit írtunk?

A hatszög élét jelöltük "a"-val, mint ha az "x" lenne az egyenletben, azt kell kiszámolni.

Mivel a felszínt (területeket) már tudjuk (6,42m^2), egyedül az "a" az ismeretlen az egyenletben, így ki tudjuk számolni - és meg is tettük, le van írva a végeredmény.