Tudnátok segíteni ebben a két matekfeladatban, hogyan kell megoldani lépésről lépésre? Térgeometria!

2.)

T e r v :

(A) A körszelet területét kell kiszámolni, amely a víz előtt van a fekvő hengerben.

Ezt három lépésben lehet megtenni:

① ki kell számolni a húrhoz tartozó teljes körcikk területét;

② ki kell számolni annak a háromszögnek a területét, amely a körcikknek a körszelet nélküli része;

③ a körcikk területéből a háromszög területét levonva megkapom a körszelet területét.

(B) A körszelet területe és a henger magasságának ismeretében kiszámolható a víz térfogata.

(C) Ki kell számolni, hogy álló hengerben milyen magasságig tart ez a térfogat.

S z á m o l á s :

(A)

①

- A kör középpontját összekötöm a húr végpontjaival; ezek sugarak.

- A kör középpontjából rajzolok egy sugarat, ami áthalad a húr középpontján. A sugár 1 m-es, a középponttól a húrig tartó szakasza 50 cm-es. (A víz a húrig áll a fekvő hengerben, ami az átmérő – 2 m – 1/4-ed része, vagyis 50 cm. Az 1 m-es sugárból 50 cm-t levonva, 50 cm marad a középpont és húr közti szakaszra.)

A körcikk központi szöge:

- a háromszög kör középpontjánál levő hegyesszöge arccos(α) = 0,5 m / 1 m = 0,5 = 60°.

- a körcikk szöge 2 * 60 ° = 120°.

- a körcikk területe (r² * π/ 360) * α = (1 * 3,14 / 360) * 120 = 3,14 * 1/3 = 1,04666… m².

②

A két háromszög egybevágó.

Az egyik háromszög egyik befogja 0,5 m. A másik befogója √(1^4 – 0,5²) = √(1 - 0,25) = √(0,75) = 0,866.

A háromszög területe (0,5 * 0,866) / 2; de a két háromszögé együtt ennek kétszerese, tehát 0,5 * 0,866 = 0,433 m².

③ A körszelet területe 1,04666 – 0,433 = 0,61366 m².

(B)

A víz tréfogata 0,61366 m² * 2 m = 1,22732 m³.

(C)

Az álló henger alapterülete 1² * π = 3,14 m².

Térfogata = alapterület * magasság. (V = Ta * m)

V = Ta *m

M = V / Ta = 1,22732 m³ / 3,14 m² = 0,39 m = 39 cm

V á l a s z :

Az álló hengerben 39 cm magas a vízszint.

1.)

A ferde hasáb térfogata (V) az alapterülete (Ta) és a magassága (m) szorzatával egyenlő. (Akárcsak az egyenes hasábé.)

Ta = 20 cm * 20 cm = 400 cm².

m = ?

sin(73°) = m / 40 cm

m = sin(73°) * 40 cm ≈ 0,956305 * 40 cm = 38,2522 cm

V = Ta * m = 400 cm² * 38,2522 cm = 15300,88 cm³≈ 15,3 dm³.

V á l a s z :

A hasáb térfogata 15,3 dm³.