Ha a+b+c=0 akkor teljesül az az állítás, hogy c*a<=b*b?

Heló!

Igen.

a+b+c=0

b=-a-c

b*b= (-a-c)^2= a^2+2ac+c^2

állítás: ac<=a^2+2ac+c^2

ha a és c azonos előjelűek, akkor egyértelműen igaz az állítás

ha a és c különböző előjelűek, akkor a bal oldal negatív szám, a jobboldal pedig pozitív, mivel ez egy teljes négyzet, egy pozitív szám pedig mindig nagyobb nagyobb egy negatívnál

ha a és c 0, akkor egyenlőek

ha az egyikük 0, akkor is értelemszerűen igaz az állítás

állítás: ac<=a^2+2ac+c^2

Bizonyítás: a^2+ac+c^2=(a+c/2)^2-c^2/4+c^2=(a+c/2)^2+3/4y^2=(a+c/2)^2+(c*sqrt(3)/2)^2. Két négyzetszám összege valóban >=0 és most azt is látjuk hogy egyenlőség csak akkor van ha c=0 és a+c/2=0 vagyis a=0.