Diszkrét matematika: Oldja meg az alábbi egyenleteket az egész számok körében! 1, a^2-b^2=100 2, a^2-4b^2=116 Vizsga?

Pedig ezek pont, hogy egyenletrendszerek; tudjuk, hogy a^2-b^2=(a+b)*(a-b), tehát az egyenlet:

(a+b)*(a-b)=100

Értelemszerűen (a+b) és (a-b) is osztója 100-nak, szorzatuk pedig ugye pont 100. Írjuk fel 100 összes szorzópárját:

1*100 és (-1)*(-100)

2*50 és (-2)*(-50)

4*25 és (-4)*(-25)

5*20 és (-5)*(-20)

10*10 és (-10)*(-10)

Itt most értelemszerűen a tagokat egyenlővé kell tenni a szorzótényezőkkel, például:

a+b=1

a-b=100

Máris láthatjuk, hogy ha összeadjuk a két egyenletet:

2a=101, erre a=50,5, nem nyert.

Az összeset így fel tudjuk írni, ekkor mindig 2a lesz a jobb oldalon összeadás után. Ebből következően, olyan szorzatokat kell vizsgálni, ahol a szorzótényezők összege páros szám:

2+50=52, -2+(-50)=-52

10+10=20, -10+(-10)=-20, a többi nem jó. Remélem, hogy innen már be tudod fejezni.

A másiknál ugyanaz a kotta, csak kicsit más a mű:

(a-2b)*(a+2b)=116, itt

1*116 és (-1)*(-116)

2*58 és (-2)*(-58)

4*29 és (-4)*(-29), más nincs. Ha újból felírjuk:

a-2b=116

a+2b=1, majd összeadjuk az egyenleteket:

2a=117, erre a=58,5, ez sem nyerő. Ugyanaz a történet, mint előbb; a szorzótényezők összegének párosnak kell lennie, tehát végig kell nézni, hogy hol mi van.

Egyébként a WolframAlpha megadja neked az összes lehetséges egész megoldást:

[link]

[link]

"Integer solutions" ami neked kell.

A feladatok

1, a² - b² = 100

2, a² - 4b² = 116

A tétel: Minden szám felírható két négyzetszám különbségeként!

Általánosan

x² - y² = N

Legyen p és q a N egy osztópárja

ezzel

(x + y)(x - y) = p*q

A két oldal tényezőit párosítva

x + y = p

x - y = q

A két egyenletet összeadva

2x = p + q

így

x = (p + q)/2

A két egyenletet kivonva

2y = p - q

így

y = (p - q)/2

Ha egész szám megoldás kell, akkor a jobb oldal zárójeles értéke páros kell legyen, ami azt is jelenti, hogy az osztópár tagjainak azonos paritásúaknak - vagy mindkettő páros vagy mindkettő páratlan - kell lenni.

Ez nagyon lerövidíti a megoldást

Az első feladat

a² - b² = 100

100 osztópárjai

1- 100

2 - 50

4 - 25

10 - 10

Ezekből csak a

2- 50

és a

10 - 10

páros jöhet szóba.

Az utóbbi esetén

a = 10

b = 0

az eredmény

A 2 - 50 pár esetén

a - b = 2

a + b = 50

Ebből

2a = 52

a = 26

=====

ill.

2b = 48

b = 24

=====

A második feladat

a² - 4b² = 116

116 osztópárjai

1 - 116

2 - 58

4 - 29

Ezekből csak a

2 - 58 pár a jó

Ezzel

a - 2b = 2

a + 2b = 58

Így

2a = 60

a = 30

=====

és

4b = 56

b = 14

=====

DeeDee

**********