Hogy kell bebizonyítani teljes indukcióval, hogy 7 osztója az (n^7-n) -nek; n eleme Z?

Egyébként is megértettük, de örülök, hogy törekedsz a jó zárójelhasználatra :)

Először megnézzük a nemnegatív egész számokra, hogy mi a helyzet; ha n=0, akkor 0-0=0, ez osztható 7-tel.

Tegyük fel, hogy n-ig igaz, nézzük meg, hogy n+1 esetén mi a helyzet:

(n+1)^7-(n+1), a zárójelet NEM TAGONKÉNT bontjuk ki, hanem a binomiális tétel segítségével:

=1 + 7*n + 21*n^2 + 35*n^3 + 35*n^4 + 21*n^5 + 7*n^6 + n^7 -n -1

Itt van két szerencsétlen 1-es, amelyek kiejtik egymást, így marad:

7*n + 21*n^2 + 35*n^3 + 35*n^4 + 21*n^5 + 7*n^6 + n^7 -n, és egy kis figyelemfelkeltés:

7*n + 21*n^2 + 35*n^3 + 35*n^4 + 21*n^5 + 7*n^6 + (n^7 -n)

Látható, hogy az összeg minden egyes (zárójelen kívüli) tagja egy 7-tel osztható számmal van megszorozva, tehát minden tag osztható 7-tel. A zárójelen belüli tag pedig pont az indukciós feltevésünk van, így az is kénytelen 7-tel oszthatónak lennie.

Mivel 7-tel osztható számok összege is 7-tel osztható, ezért (n+1)^7-(n+1) osztható 7-tel, ezzel sikerült belátnunk az öröklődést; minden nemnegatív n-re n^7-n osztható 7-tel.

Ha n negatív, akkor írjunk a kifejezésbe -n-et, ekkor n-t pozitívnak vesszük:

(-n)^7-(-n)=-n^7+n, ebből ki tudunk emelni -1-et: -1*(n^7-n), és tudjuk, hogy n^7-n osztható 7-tel, és azt is, hogy a -1-gyel való szorzás ezt nem változtatja, tehát negatív egészekre is teljesülni fog az oszthatóság.

Ha valami nem érthető, kérdezz!