Melyek azok a 10-es számrendszerbeli kétjegyű számok, amelyekben a számjegyek számtani és harmonikus közepének a különbsége 1?

A szám után, zárójelben, elől a számjegyek számtani-, utána a harmonikus közepe szerepel:

20 (1,0)

26 (4,3)

62 (4,3)

A számjegyek legyenek a és b. Egyik se lehet 0, mert akkor nincs harmonikus közép.

Az átlag a nagyobb, ezért A = H + 1

(a+b)/2 = 2ab/(a+b) + 1

(a+b)² = 4ab + 2(a+b)

a²-2ab+b² = 2(a+b)

(a-b)(a-b) = 2(a+b)

A két oldalon a prímtényezők ugyanazok kell legyenek, ezért

(a-b)/N = 2, (a-b)·N = a+b

Tetszőleges N egésznél

1) N=1: a-b=2, a-b = a+b

Vagyis a=2, b=0. Viszont nem lehet 0, ezért ez nem megoldás.

2) N=2: (a-b)/2 = 2, (a-b)·2 = a+b

Vagyis a=6, b=2. Ez jó megoldás. (62 illetve 26)

3) N=3: (a-b)/3 = 2, (a-b)·3 = a+b

Ebből a=12, b=6 jön ki, az már sok, fuccs.

A többinél még nagyobb számok lennének, tehát nincs több megoldás.