1. Egy derékszögű háromszög területe 600 cm2. Oldalai egy számtani sorozat egymást követő tagjai. Mekkorák az oldalai? 2. Egy derékszögű háromszög kerülete 60 m, területe 120 m2. Mekkorák az oldalai?

T = a * b / 2

("a" és "b" a befogók. Mivel derékszögű háromszög, "b" megegyezik az "a" oldalhoz tartozó magassággal.)

1200 = a * b

Ezt is tudjuk:

a^2 + b^2 = c^2

Valamint ezt is (mivel számtani sorozat a három oldal hossza):

a + d = b

b + d = c

Szóval van 4 ismeretlenünk és 4 egyenletünk:

a + d = b

b + d = c

1200 = a * b

a^2 + b^2 = c^2

A válasz:

a = 30, b = 40, c = 50, d = 10

De a levezetés nem megy. Valaki segítsen! :)

Szerintem valamit túlbonyolítottam.. vagy nem?

1. Legyen a 3 oldal hossza a, a+d és a+2d, ahol a+2d az átfogó (tehát d>0), ekkor

T=befogók szorzata/2=a*(a+d)/2

600=a*(a+d)/2

Mivel derékszögű háromszögről van szó, ezért felírhatjuk Pitagorasz tételét:

a^2+(a+d)^2=(a+2d)^2, érdemes ezzel az egyenlettel kezdeni valamit:

a^2+a^2+2ad+d^2=a^2+4ad+4d^2

a^2=2ad+3d^2

a^2-(2d)*a-3d^2=0

Erre felírjuk a másodfokú egyenlet megoldóképletét; a az ismeretlen, d a paraméter:

a=(2d+gyök(4d^2+12d^2))/2=(2d+gyök(16d^2))/2=

=(2d+4d)/2=6d/2=3d (a másik gyök -d lenne, azzal nem foglalkozunk)

Ezt beírjuk az első egyenletben a helyére:

600=(3d)*(3d+d)/2

600=3d*2d

100=d^2

10=d, tehát az oldalak között a különbség 10. Ebből már az a-t is meg tudjuk határozni:

a=3d=3*10=30, tehát az oldalak hossza 30, 40 és 50 cm^2. Ellenőrzés:

Területe: 30*40/2=600, jó. 30^2+40^2=50^2 -> 2500=2500, jó.

2. Legyen a derékszögű háromszög két befogója a és b, ekkor Pitagorasz tételéből a befogó gyök(a^2+b^2). A háromszög területe:

a*b/2=120, kerülete:

a+b+gyök(a^2+b^2)=60

Hogy neked is legyen ez kis dolgod, ezt az egyenletrendszert oldd meg te.

1. feladat

T = 600 - a háromszög területe

Oldalak számtani sor (a<b<c)

A középső oldallal kifejezve a többit

a = b - d

b = b

c = b + d

Pitagorász tétel

(b - d)² + b² = (b + d)²

Átrendezve

b² = (b + d)² - (b - d)²

Műveletvégzés és összevonás után

b² = 4bd

Egyszerűsítve

b = 4d

ebből

a = 3d

c = 5d

Most jön a terület

2T = a*b

1200= 3d*4d = 12d²

d² = 100

d = 10

Ezek után az oldalak

a = 3d = 30

b = 4d = 40

c = 5d = 50

Ezzel megvolnánk. :-)

***********************************************

2. feladat

K = 60 m - a háromszög kerülete

T = 120 m² - a háromszög területe

a, b, c = ?

Kétféle elindulás is eszembe jutott.

a.) Változat (Pitagorasz tétellel)

A kiinduló egyenletek

K = a + b + c

2T = a*b

Az elsőből

a + b = K - c

Mindkét oldalt négyzetre emelve, összevonás, rendezés után

2ab = K² - 2Kc

A második egyenletet behelyettesítve

4T = K² - 2Kc

ebből

c = (K² - 4T)/2K

Kissé "szellősebb" a képlet a

K = 2s (félkerület) helyettesítéssel, ezzel

c = (s² - T)/s

A 'c' értékét a kiinduló egyenletbe behelyettesítve

a + b = K - c = 2s - c

a + b = (s² + T)/s

Az eredeti második egyenlettel együtt a következő egyenletrendszerünk van

a + b = (s² + T)/s

a*b = 2T

Az ismert adatokat behelyettesítve

a + b = 34

a*b = 240

A megoldás adja a két befogót, de ez legyen a kérdező feladata.

******************************************************************************

b.) változat (A beírt kör sugarával)

Legyen

r - a beírható kör sugara

A kiinduló egyenletek

K = a + b + c

2r = a + b - c

Mivel

T = r*s

r = T/s

és

K = 2s

így

2s = a + b + c

2T/s = a + b - c

Az elsőből kivonva a másodikat

2s - 2T/s = 2c

Egyszerűsítés és összevonás után

(s² - T)/s = c

ugyanaz, mint az előző változatban, a folytatás is annak megfelelő.

DeeDee

**********