Hogyan lehet megoldani ezt a Gazdasági Matematika feladatot?

Ez egy szimpla matematikai feladat, ahol meg kell keresni egy függvény adott tartományon belüli szélsőértékét.

Mivel a függvény szigorúan monoton csökkenő (mint minden a kitevőben negatív együtthatójú exponenciális függvény), ezért a maximális értékét a p=0-ban fogja felvenni. De ez nyilvánvaló is, hiszen egy árunak akkora van a legnagyobb kereslete, ha ingyen adják. Maga a szélsőérték pedig 13 lesz, mivel e^0=1, és ehhez adunk hozzá még 12-t.

Az előző hozzászóláshoz annyit, hogy amit írt, az egyáltalán nem logikus :D Az árbevétel az eladott áru mennyiségének és az áru egységárának szorzata. Ha az ár nulla, akkor az árbevétel is nulla (természetesen ez még lehet maximum, de elég szélsőséges egy eset lenne). Továbbá ha az árut ingyen adják, akkor nem is beszélhetünk árbevételről :/

És habár jártas vagyok mikroökonómiában, az e^ jelöléssel még nem találkoztam :D Ez mit takar? :)

Kedves Tibor!

Makroökonómiában jártas, de a matematikában nem? Az e^ az "e ad"-ot jelenti, azaz az exponenciális függvényt.

1. A kérdező nyilvánvalóan rosszul másolta be ide a feladatot, mivel erősen valószínű, hogy a keresleti függvény helyesen így néz ki:

f(p)=e^(-0.01*p+12)

Gyakori hiba ez azoknál, akik a matematikát alapszinten sem értik. Ha a zárójelet elhagyjuk, akkor az f(p)=e^(-0.01*p)+12 függvényt kapjuk, ami azt fejezi ki, hogy végtelen nagy egységár mellett a kereslet egy konstans értékhez (12) tart, ami abszurdum.

2. A feladat megoldása az, hogy az egységárat meg kell szorozni a keresleti függvénnyel, amely utóbbi lényegében azt jelenti, hogy milyen mennyiségű árut lehet az adott egységár mellett eladni, a szorzat pedig azt, hogy mennyi a várhatóan eladható árukból befolyó bevétel. Tehát ki kell számítani a p*e^(-0.01*p+12) függvény maximumának helyét (A feladat) és a keresleti függvény e helyen felvett értékét (B feladat).

Mint tudjuk, szélsőértéket legkönnyebb deriválással végezni, ergo deriválni kell a fent említett függvényt p szerint és egyenlővé tenni nullával:

e^(-0.01*p+12)-0.01*p*e^(-0.01*p+12) = (1-0.01*p)*e^(-0.01*p+12) = 0

Ennek megoldása:

p=100

A keresleti függvény értéke p=100 helyen pedig:

f(100)=e^(-0.01*100+12)=e^11