Az alábbi "Gazdasági matematika" feladat megoldásában, illetve annak módszerében kérném a segítségeteket. Tudnátok segíteni elmagyarázni a módszert és leírni a megoldást is?

Tudom, már biztos késő, de amit tudok, azt leírom. Nem vagyok a téma embere, csak a matek részéhez értek.

Először egyszerűsítsük le a függvényt:

(10-x)/(x+5)=(-(x+5)+15)/(x+5)= -1+(15/(x+5))

Tehát f(x)= 15/(x+5) -1

zérushely: azt jelenti, hogy itt a kereslet nulla.

f(x)= 15/(x+5)-1=0

15/(x+5)=1

(x+5)/15=1

x+5=15

x=10

Zérushely tehát 10, ami ha jól értem 10ezerFt/darab egységárat jelent.

Ha az eladott termékek száma egyenesen arányos a kereslettel, akkor eladott termékek száma=kereslet*k

ahol k egy ismeretlen konstans. Nem értek ezekhez a szakszavakhoz teljesen, szóval azért írtam a k-t. Ha a keresletben feltüntetett mennyiséget ténylegesen meg is veszik akkor k=1 A továbbiakban vegyük így.

A bevétel pedig egységár*eladott termékek száma

Legyen b a bevétel, ami az egységár függvénye.

b(x)=f(x)*x

Ennek a maximumát keressük. Mivel a függvény deriváltható az adott pontban, ezért felírhatjuk, hogy az x maximumhely esetén b'(x)=0 (mert a függvény grafikonja ebben a maximumban éppen vízszintes, tehát meredeksége 0)

b(x)=15x/(x+5)-x

deriváltfüggvénye b'(x)=75/(x+5)^2-1

75/(x+5)^2-1=0

Egy kis rendezgetés...

(x+5)^2=75

Nekünk a pozitív gyökre lesz szükségünk x+5=gyök(75)

x=gyök(75)-5= 3.66

Ez azt jelenti, hogy 3660Ft/db egységárnál lesz maximális a bevétel.

Ekkor a kereslet f(3.66)=0.7321 Tehát a kereslet ekkor 732100 darab.

A függvény x=2-ben vett elaszticitását keressük. Az E(x) elaszticitás függvényre igaz, hogy:

E(x)=x/f(x)*f'(x)

ahol f(x)=15/(x+5)-1 és deriváltfüggvénye f'(x)=-15/(x+5)^2

ebből adódóan E(x)=-(x^2+5x)/(10-x)*15/(x+5)^2

behelyettesítünk x=2-vel és azt kapjuk, hogy E(2)=-0.536

Ez azt jelenti, hogy ha az egységár 1%-al nő, akkor a kereslet 0.536%-al csökkenni fog. Azonban ez az arány csak az adott pontra értelmezhető, ezért pontelaszticitás, mindig kicsit változni fog, ha arrébb megyünk, de csak kis mértékben.

Remélem segítettem!