Van egy háromszög, melynek minden oldalának felezőpontja körül kört írunk, melynek sugara az illető oldal egynegyede. Tudjuk azt, hogy bármelyik két körnek van közös pontja. Bizonyítsd be azt, hogy a háromszög szabályos!?

Ha a háromszög oldalának felezőpontja az 1/4oldalnyi sugarú kör középpontja, akkor tulajdonképpen a kör átmérője az oldal fele.

Szóval, azt kell bebizonyítanunk, hogy szabályos háromszögről beszélünk. Tudjuk azt, hogy minden oldala egyforma hosszú. Ebből adódik, hogy minden oldalfelező-középpontú kör sugara egyenlő hosszú. Tudjuk azt is, hogy bármelyik két körnek van közös pontja. Ebből megállapítható, hogy összesen 3 db olyan pontunk van, ahol két kör érintkezik (ha nem megy, készíts vázlatot). A három pont legyen x y és z. Az oldalak felezőpontjai legyenek F1 F2 és F3. Vizsgáljuk meg F1 és F2-nél lévő köröket, amelyek x pontja közös! d(F1 ; x) = d(F2 ; x) vagyis a két kör sugarának hossza egyenlő és a felezők egyenlő távolságra vannak x-től. Következő: vizsgáljuk meg F2-nél és F3-nál lévő köröket, melyeknek y pontja közös! d(F2 ; y) = d(F3; y). Ebből adódik, hogy d(F1 ; z) = d(F3 ; z) vagyis z pont is eleme a 3. csúcs felezőjének, mert r1 és r3 egyenlő hosszú. A háromszög szabályos.

A háromszög-egyenlőtlenség miatt két körnek akkor és csak akkor van közös pontja, ha sugaraik összege nagyobb vagy egyenlő, mint a középpontjaik távolsága.

Tekintsük pl. a "b" és "c" oldalak felezőpontjai köré írt köröket. Ezek sugarai b/4 illetve c/4, középpontjaik távolsága a háromszög középvonala, vagyis a/2.

Tehát

b/4 + c/4 >= a/2,

b+c >= 2a.

Ugyanezt a másik két oldalra is felírhatjuk:

a+b >= 2c,

a+c >= 2b.

Utóbbi két egyenlőtlenséget adjuk össze:

2a+(b+c) >= 2(b+c),

2a >= b+c.

Viszont az első egyenlőtlenség éppen ennek a "megfordítása" volt, ez csak úgy lehet, ha pont egyenlő a két oldal:

2a = b+c.

Ez persze a másik két oldalra is ugyanígy megkapható:

2b = a+c,

2c = a+b.

Utóbbi két egyenletet kivonva egymásból,

2(b-c) = c-b,

azaz

b=c.

Hasonlóan kapható meg a másik két oldalpár egyenlősége is, így a háromszög tényleg szabályos.