Mi a következő 2 koordinátageometria megoldása? + magyarázat

1. Írjuk fel a PQ vektort: (2 ; 8 ; -6). Az egyenesről egy R pontot úgy kapunk meg, hogy valamelyik, mondjuk a P pont koordinátájához előjelesen hozzáadjuk a vektor skalárszorosának koordinátáit (elsőt az elsőhöz, másodikat a másodikhoz, harmadikat a harmadikhoz). Ha a vektor skalárszorosa t, akkor az egyenes tetszőleges pontja t függvényében így adható meg:

(x ; y ; z) = (1+2t ; 4+8t ; 4-6t), tehát ha pl. t=4, akkor az R(9;36;-20) pont is rajta lesz az egyenesen.

Egy egyenes akkor metsz egy koordinátatengelyt, ha legalább két kooordinátája 0 (ha mindhárom 0, akkor az origón megy át), tehát az a kérdés, hogy van-e olyan t, hogy a három koordinátából kettő 0, ehhez meg kell oldani az egyenleteket:

1+2t=0 -> t=-1/2

4+8t=0 -> t=-1/2

4-6t=0 -> t=2/3

Tehát t=-1/2 esetén lesz két nullánk, ekkor a (0;0;7) ponthoz jutunk, ezzel a z-tengelyt metszük el.

2. Írjuk fel az egyenes egy irányvektorát például úgy, hogy meghatározzuk az egyenes két pontját, és arra felírjuk az irányvektort; S(9;-4;0), T(12;-3;5), így az egyenes irányvektora (3;1;5). Ezzel a vektorral képezzük a Q pontból az R(6;7;15) pontot.

Három pont, amennyiben azok nem esnek egy egyenesre, meghatároznak egy síkot, vagyis most meg kell néznünk, hogy ez a három pont egy egyenesre esnek-e, ezt úgy tudjuk legkönnyebben meghatározni, hogy megnézzük, hogy bármely két pontra felírt vektor egymásnak skalárszorosa-e:

PQ->(2;3;6)

PR->(5;4;11)

Látható, hogy ezek nem egymás skalárszorosai, tehát a három pont nem egy egyenesre esik, így meghatározzák a síkot.

A sík általános egyenlete: Ax+By+Cz=D, ahol A,B,C,D konstansok. Ezek alapján felírhatunk 3 egyenletet úgy, hogy x,y,z helyére a pontok koordinátáit írjuk be:

A+3B+4C=D }

3A+6B+10C=D }

6A+7B+15C=D }

Értelemszerűen ezeknek egyszerre kell teljesülniük, ezért egyenletrendszerbe foglaljuk őket. Ennek az egyenletrendszetnek persze nem lesz egyértelmű megoldása, de a megoldások egymás skalárszorosai (mivel ha egy egyenlet mindkét oldalát egy skalárral szorozzuk, az egyenlet ugyanazt a síkot fogja leírni), ezért valamelyik ismeretlent nyugodt szívvel fixálhatjuk, ám van egy kis bökkenő; ha egy egyenletben valamelyik együttható 0, akkor az a nemnulla skalárral való szorzással is 0 marad, de ha nem, akkor sose lesz 0. Ezért lehet, hogy kétszer kell nekifutnunk az egyenletrendszer megoldásának.

Legyen A=1, ekkor ezt az egyenletrendszert kapjuk:

1+3B+4C=D }

3+6B+10C=D }

6+7B+15C=D }

Mivel mindegyik egyenlet D-re van rendezve, nem lesz nagy erőfeszítés kétismeretlenes egyenletrendszerré varázsolni;

3+6B+10C=1+3B+4C }

6+7B+15C=1+3B+4C }

A tanult módon rendezve az egyenleteket:

3B+6C=-2 }

4B+11C=-5 }

Szorozzuk az első egyenletet 4-gyel, a másodikat 3-mal:

12B+24C=-8 }

12B+33C=-15 }

Vonjuk ki egymásból a két egyenletet:

9C=-7, így C=-7/9 adódik. Ezt írjuk be valamelyik egyenletbe:

3B+6*(-7/9)=-2

3B-14/3=-2

3B=8/3

B=8/9

Innen már minden adott D kiszámításához:

D=1+3B+4C=1+3*8/9+4*(-7/9)=5/9

Tehát a sík egyenlete:

x+(8/9)y-(7/9)z=5/9, hogy az együtthatók egészek legyenek, szorozzunk 9-cel:

9x+8y-7z=5

A végeredmény ellenőrzését már rád bízom.