Bizonyítsuk be, hogy ab+cd <= (kisebb v. egyenlő) négyzetgyök alatt (a^2+c^2) *négyzetgyök alatt (b^2+d^2)?

Összeszorzod a négyzetgyökjel alatti négyzetösszegeket, majd négyzetre emeled az egyenlőtlenséget.

(ab + cd)^2 =< a^2·b^2 + c^2·d^2 + a^2·d^2 + b^2·c^2

négyzetre emelve a baloldalt majd összevonva

2abcd =< c^2·b^2 + a^2·d^2

leosztva cb-vel és ad-vel a reciprok egyenlőtlenség adódik

2 =< (cb/ad) + (ad/cb)

Ez az ismert Cauchy-Schwartz egyenlőtlenség speciális esete:

[link]

"Bizonyítás": veszed az (a,c) és a (b,d) vektorokat, a baloldalt a skalár szorzatuk, a jobb oldalon a hosszaik szorzata áll. Ismert hogy a baloldal (két vektor skalárszorzata felírható

> |a||b|*cos(g)

alakban, ahol

> |cos(g)|<=1

amely |cos(g)| éppen |b.o./j.o.| -lal egyezik meg, és azt akartad, hogy kisebb legyen 1-nél.

(Valójában a bal oldal abszolultértéke is kisebb a jobb oldalnál.)

Egyenlőség pontosan akkor, amikor a két vektor egymás pozitív skalárszorosa, azaz

> (b,d) = (S*a,S*c), ahol S>=0

vagy pedig (a,c) és (b,d) közül az egyik (0,0).