A kör adott pontjara huzott erintoje?

Mind a három feladat hasonló, tudni kell hozzájuk egy fontos összefüggést az érintő és az érintési pontba húzott sugár kapcsolatáról: mindig merőlegesek egymásra. Tehát mind a három feladat esetén azt kell csinálni, hogy a K(3;-2) pontból merőlegest bocsájtunk az éppen tárgyalt alakzatra, ekkor a merőleges és az alakzat metszéspontja lesz az érintési pont. Ezután vesszük az érintési pont és a K pont távolságát, és ez lesz a sugár.

A:

A feladat egy K(3;-2) ponton átmenő, az x tengelyre merőleges egyenes egyenletének felírása. Ehhez kell egy vektor, ami vagy merőleges, vagy párhuzamos az x tengellyel. Mivel nekünk merőleges kell, vegyük a v(0;1) vektort, ez lesz az irányvektor az egyeneshez. Ebből már felírható az irányvektoros egyenlet:

v2 * x - v1 * y = v2 * x0 - v1 * y0

ez jelen esetben

1 * x - 0 * y = 1 * 3 - 0 * (-2) azaz

x = 3

Ekkor a metszéspont a következő egyenletrendszerből számolható:

x = 3 (ez az x tengelyre merőleges egyenes egyenlete)

y = 0 (ez az x tengely egyenlete)

Ebből meg is kaptuk, hogy az érintési pont P(3;0), így a KP szakasz:

gyök((3 - 3)^2 + (0 - (-2))^2) = gyök(4) = 2

Így a keresett sugár 2 egység hosszú.

B:

A feladat egy K(3;-2) ponton átmenő, az y tengelyre merőleges egyenes egyenletének felírása. Ehhez kell egy vektor, ami vagy merőleges, vagy párhuzamos az y tengellyel. Mivel nekünk merőleges kell, vegyük a w(1;0) vektort, ez lesz az irányvektor az egyeneshez. Ebből már felírható az irányvektoros egyenlet:

w2 * x - w1 * y = w2 * x0 - w1 * y0

ez jelen esetben

0 * x - 1 * y = 0 * 3 - 1 * (-2) azaz

-y = 2

y = -2

Ekkor a metszéspont a következő egyenletrendszerből számolható:

x = 0 (ez az y tengely egyenlete)

y = -2 (ez az y tengelyre merőleges egyenes egyenlete)

Ebből meg is kaptuk, hogy az érintési pont Q(0;-2), így a KQ szakasz:

gyök((0 - 3)^2 + (-2 - (-2))^2) = gyök(9) = 3

Így a keresett sugár 3 egység hosszú.

C:

A feladat egy K(3;-2) ponton átmenő, a 3 * x - 4 * y = 6 egyenletű egyenesre merőleges egyenes egyenletének felírása. Ehhez kell egy vektor, ami vagy merőleges, vagy párhuzamos az adott egyenessel. Olvassuk le az adott egyenes irányvektorát: n(4;3). Ebből már felírható a normálvektoros egyenlet:

n1 * x + n2 * y = n1 * x0 + n2 * y0

ez jelen esetben

4 * x + 3 * y = 4 * 3 + 3 * (-2) azaz

4 * x + 3 * y = 12 + (-6)

4 * x + 3 * y = 6

Ekkor a metszéspont a következő egyenletrendszerből számolható:

4 * x + 3 * y = 6 (ez az adott egyenesre merőleges egyenes egyenlete)

3 * x - 4 * y = 6 (ez az adott egyenes egyenlete)

Az első egyenletből kifejezzük y-t:

3 * y = 6 - 4 * x

y = 2 - (4/3) * x

Ezt beírjuk a második egyenletbe:

3 * x - 4 * (2 - (4/3) * x) = 6

3 * x - 8 + (16/3) * x = 6

(25/3) * x = 14

25 * x = 42

x = 42/25

Ebből y = 2 - (4/3) * (42/25) = -(6/25)

Ebből meg is kaptuk, hogy az érintési pont M(42/25;-(6/25)), így a KM szakasz:

gyök(((42/25) - 3)^2 + (-(6/25) - (-2))^2) = gyök(121/25) = 11/5

Így a keresett sugár 11/5 egység hosszú.

A feladatok elvégzése során az érintési pontokat is kiszámoltuk (P,Q,M).

Igen, valóban, az A * x + B * y = A * x0 + B * y0 alakú egyenlet a P(x0;y0) koordinátájú, n(A;B) vektorra merőleges egyenes egyenlete, ez szerepel a C feladat megoldásomban. Ezt én normálvektoros egyenletnek szoktam mondani, mert a merőleges vektor normálvektor.

A másik, a v2 * x - v1 * y = v2 * x0 - v1 * y0 alakú az irányvektoros, ezt akkor szoktam, ha párhuzamos a v(v1;v2) vektor a keresett egyenessel, azaz irányvektor. Ez tulajdonképpen ugyanaz, mint a normálvektoros, csak az előjelezés itt úgy van, hogy már nem kell neked 90°-ot fordítani a vektoron, mert ugye ha v(v1;v2) párhuzamos egy egyenessel, akkor u(v2;-v1) merőleges rá, és lényegében ennek az u vektornak a normálvektoros egyenlete a v vektor irányvektoros egyenlete.