Valószínűségszámításból hogyan hogyan lehet eldönteni, hogy az esetek kiszámolásánál hatványozunk, vagy k alatt az n formát használunk?

A leggyakoribb az, hogy sok dologból ki kell választani néhányat úgy, hogy nem számít, milyen sorrendben választjuk ki, csak az, hogy melyikek lesznek a végén benne a kiválasztottakban. Ez az (n alatt k), n-ből kiválasztunk k darabot.

Pl. ki legyen az a 4 fiú a 30 fős osztályból (15 fiú, 15 lány), aki átpakolja a termet.

Ha viszont számít a sorrend, akkor már n!/(n-k)! lesz: kik állnak fel a dobogóra a verseny után. Ott is kiválasztunk n-ből 3-at, de számít, hogy ki az első, stb.: n·(n-1)·(n-2) lesz, ami ugyanaz, mint n!/(n-3)!

A harmadik eset, amit írtál, az meg olyan, hogy többször is kiválaszthatjuk az adott dolgot. Pl. úgy, hogy miután kiválasztjuk, vissza is rakjuk. Mondjuk ki akarunk színezni egy ábrát és van 5 színes ceruzánk. Ha az ábra 10 részből áll, akkor 10-szer kiválasztunk az 5 ceruzából egyet, aztán mindig visszarakjuk, hogy a következő részhez újra választhassuk azt is. Ez 5¹⁰ lesz.

Lehet, hogy a faktoriálisnál másra gondoltál. Nem kiválasztásra, hanem sorbarendezésre. Arra is írok példákat:

Ha van n különböző tárgy, amiket sorban ki akarunk rakni magunk elé, azt n! módon tehetjük meg.

Ha viszont nem mindegyik egyedi, mondjuk van összesen 9 tárgy: 3 ceruza, 4 toll és 2 radír, és az összes ceruza, toll meg radír egyforma, nem különböztethető meg, akkor mindegy, hogy melyik ceruza van mondjuk az első helyen, stb.. Ekkor nem 9! lesz a sorbarendezések száma, hanem kevesebb. Ez lesz 9!/(3!·4!·2!)

(Ha kell magyarázat, hogy miért, szólj.)

Az első példában 15 fiú van, abból kell kiválasztani a négy fiút, ez (15 alatt 4).

A másodiknál nem írtam konkrét számot, és az teljesen más feladat lenne (valami verseny). Ha ott indul 20 gyerek, akkor 20·19·18 féle módon jöhet ki, hogy ki lesz az első három. Ez ugyanaz, mint 20!/17!, ha nagyon faktoriálissal akarod leírni.