Valaki segítene egy matek feladat megoldásában, magyarázattal?

A matematikai analízis mint tárgy arról szól (az elején), hogy konkrét függvényeket analizálsz. Azaz szépen kézzel megnézed hogy milyen tulajdonságai vannak a konkrét függvényednek.

Nincsen rá általános módszer. (Körülbelül ekvivalens a megállási problémával, vagy azzal, hogy egy vírusírtó/debugger nem tudja eldönteni hogy mit fog csinálni a program)

Általában nem adnak fel durva halmazokat, csak olyanokat, ahol viszonylag egyértelmű hogy mit kell velük (a konkrét halmazokkal) csinálni.

Például amit kaptál az polinom/polinom alakú sorozat, ezekről lényegében mindent tudni lehet. (Sokkal durvábbakat nem fogsz kapni.)

Ez egy idő után monoton, tehát elég az első néhány tagját + a farkát megnézned, hogy mit csinál.

Alulról korlátos? Persze, pozitív számok hányadosa > 0, az jó alsó korlát.

Felülről korlátos? Persze, 100 jó felső korlát (miért? Kibütykölöd kézzel)

Infimuma/minimuma? Mivel monoton növő, ezért az infimumát felveszi az első tagjában ami a_0 vagy a_1 igény szerint.

Supremuma? Megsejted az eredményt, majd belátod hogy korlát és tetszőlegesen közel tudsz menni hozzá.

Nem tudok arról, hogy megsejtés nélkül hogyan lehet, lehet-e egyáltalán kezelni. Viszont nem kell túlmisztifikálni sem. A függvényed/sorozatod átalakítod picit:

> (n+1)/(2n+3) = 1/2 * (2n+3)/(2n+3) - 0.5/(2n+3) =

>=1/2 - 0.5/(2n+3)

amely egy hiperbola egyenlete, illetve annak egész helyen felvett pontjai. Könnyen látod hogy ennek a supremuma 1/2, és mondjuk az n(ε) kereséséhez megoldod a következő egyenletet n szerint:

> 0.5/(2n+3) < ε

> 1 < (2n+3)*ε

> (1/ε-3)/2 < n

tehát minden adott ε-ra, ha

> n > (1/ε-3)/2

akkor

> 0.5/(2n+3) < ε

> 1/2 - 0.5/(2n+3) > 1/2 - ε

tehát tetszőlegesen meg tudod közelíteni az 1/2 értéket, még ha el nem is éred

=> nincsen maximum, és a supremum 1/2.

A megsejtés része sem vészes (mondjuk ábrázolod a függvényt, vagy megnézed hogy mit vesz fel nagy n-ekre, vagy becsülgeted úgy, hogy az olyan tagokat, amiket kicsinek gondolsz áthúzod, stb), belátni szintén nem bonyolult, az ε-ra rendezett egyenlőtlenséget kell n-re rendezni.