Kérhetnék segítséget exponencionális egyenlet megoldásban?

Néhány azonosságot kell tudni alkalmazni:

a^(b+c) = (a^b)*(a^c)

a^(b-c) = (a^b)/(a^c)

a^b^c = a^(b*c)

Ezek alapján a feladatod bal oldala ez lesz:

3^(2*(2-x)) * 3^(x+3) =

3^(4-2x) * 3^(x+3)

A feladatod jobb oldala nem egyértelmű, tagold jobban, használj zárójeleket, bármi!

A levezetés:

9^(2-x) * 3^(x+3) = 27^(x-1) / 3^(x+2)

Először mindent átírunk a 3 hatványaira:

(3^2)^(2-x) * 3^(x+3) = (3^3)^(x-1) / 3^(x+2)

Ezután használva a hatványozás azonosságait, összevonunk:

(3^2)^(2-x) * 3^(x+3) = (3^3)^(x-1) * 3^-(x+2)

3^(2*(2-x)) * 3^(x+3) = 3^(3*(x-1)) * 3^-(x+2)

3^(4-2x) * 3^(x+3) = 3^(3x-3) * 3^(-x-2)

3^(4-2x+x+3) = 3^(3x-3-x-2)

3^(-x+7) = 3^(2x-5)

Az exponenciális függvény szigorú monoton növekedése miatt ezzel ekvivalens:

-x+7 = 2x-5

-3x = -12

x = 4

--------------

Felhasznált hatványazonosságok:

(a^n)^m = a^(n*m)

a^n * a^m = a^(n+m)

(a^n)/(a^m) = a^n-m

3^(2*(2-x)) * 3^(x+3) = 3^3^(x-1) / 3^(x+2)

3^(4-2x) * 3^(x+3) = 3^(3x-3) / 3^(x+2)

3^(4-2x) * 3^(x+3) *3^(x+2) = 3^(3x-3)

3^[4-2x+x+3+x+2] = 3^(3x-3)

3^9 = 3^(3x-3)

Az exponenciális egyenlet monoton, ezért:

9 = 3x-3

x = 4

Ellenőrzés:

Bal oldal: 27

Jobb oldal: 27

Tehát a megoldás jó.