Az ABC háromszög egy belső pontja P, kerülete 2s (teljes feladat lent) hogyan kezdjek hozzá?

Ha összekötöd a P pontot a háromszög csúcsaival, akkor 3 háromszöget kapsz a háromszögön belül. A háromszög-egyenlőtlenség miatt azt tudjuk, hogy

AB<PA+PB

AC<PA+PC

BC<PB+PC

Ha ezeket összeadjuk, akkor

AB+AC+BC<2*(PA+PB+PC)

A bal oldalon a kerület van, vagyis 2s, ezért

2s<2*(PA+PB+PC), osztva 2-vel:

s<PA+PB+PC

Hogy a kerületnél kisebb, hogy pl. A-ból körzőzöl PA sugárral, ez valamelyik oldal (vagy mindkettőt) biztosan osztani fogja ezért a PA annál biztosan rövidebb lesz. Mindegyik oldallal eljátszható ez, és mivel darabonként nagyobb mindegyik oldal, ezért a kerület nagyobb lesz ezen szakaszok összegénél.