A katicabogarak által meghatározott háromszög területe az indulás után hány másodperccel lesz a legkisebb?

A kényelem kedvéért változtassuk meg a mértékegységeket. Legyen a kocka éle egységnyi, vagyis válasszuk éppen a 60 centimétert a távolság ,,új'' mértékegységének). Ez a 60 centis ,,új hosszegység'' egyébként véletlenül nagyjából kb. épp annyi, mint a svájci rőf (a dán, svéd, norvég, magyar rőf sem sokkkal tér el tőle).

[link]

A kocka éle az új mértékegység szerint tehát: 1 ,,hossz-újegység'', a rövidség kedvéért hívjuk egy rőfnek.

Az idő mértékegységét is változtassuk meg. Legyen az idő új mértékegysége a 60 másodperc, vagyis éppen 1 perc. Azért érdemelte ki külön figyelmünket éppen ez az időtartam, mert ennyi idő alatt jutnak el a hangyák végig egy él mentén.

½ ,,időújegység'' (perc) alatt a hangyák éppen az általuk választott (egyrőfös) él felét teszik meg (vagyis fél rőföt).

¼ perc alatt a hangyák éppen az általuk választott él negyedét teszik meg (negyed rőföt).

Szóval mostantól legalább a mértékegységek átváltogatásával nem kell bajódnunk: sikerült találnunk egy, a feladat szampontjából ,,természetesnek'' mondható mértékegységrendszert. Ennek az a haszna, hogy így majd kissé egyszerűsített formában lehet átfogalmazni a feladatot.

Most nézzük magát a kockát, készítsünk ábrát:

[link]

A hangyák a

001

010

100

pontból indulnak, például úgy, hogy

a 100 pontból induló hangya függőlegesen föl (az 101 pont irányába)

a 010 pontból induló hangya jobbra föl (az 110 pont irányába)

a 001 pontból induló hangya ,,befelé'' (a 011 pont irányába)

Nézzük meg, hol tartanak 60 másodperc (vagyis éppen 1 újidőegység, egy perc) múlva:

a 100 pontból indult hangya átkerült az 101 pontba

a 010 pontból indult hangya átkerült az 110 pontba

a 001 pontból indult hangya átkerült a 011 pontba

Nézzük meg, mekkora háromszöget határolnak. Induláskor a hangyák a hangyák a

001

010

100

pontban voltak. Az ábra szimmetriája miatt a hangyák áltaél közrefogott háromszög éppen egy szabályos háromszög.

A háromszög ,,alakja'' tehát már meg is van, vajon mmekkora lehet a mérete. Számoljuk hát ki a háromszög egy oldalát, milyen hosszú.

Az első és a második induló hangya (a 100 és a 001 pont) közöttti távolság nem más, mint a kocka egyik lapátlója. A lap átlója Pitagorasz tétellel könnyen számolható: a 100-001 szakasz, ez egyben egy derékszögű háromszüg átfogójának is tekinthető: az 100-001-000 derékszögű héromszögről van szó, amineek a derékszöge a 000 pontnál van. Tehát az átfogó a 1000-110 szakasz, a befogók pedig a 000-100 és a 000-001 élek. Az átfogó hosszát keressük. Pitagorasz tétele alapján, az átfogó négyzete épp a két befogó négyzete, a két befogó befogó nem más, mint egy-egy él, épp egységnyi (,,1 rőf'') hosszúsággal, tehát az átfogó hossza √(1² + 1²) = √2

Szóval ilyen helyzetből, egymástól ekkora távolságra indul az első és második hangya. De nemcsak rájuk igaz ez: a második és a harmadik hangya, és a harmadik és az első hangya távolságára is ugyanez a gondolatmenet vonatkozik. Mindezek a hangyák egyaránt éppen √2 távolságra vannaek egymástól. A hangyák tehát valóban szabályos háromszöget fognak közre induláskor.

És hova érkeznerk?

Amikor a hangyák megérkeznek, akkor a

101

110

011

pontba kerülnek. Itt lényegében ugyanez a gondolatmenet segít, lényegében ugyanolyan alakzatok jelennek meg,ugyanilyen segédháromszögeket húzhatunk be az ábrába, ugyanúgy számolhatunk Pitagorasztétellel, ugyanilyen távolságadatokat kell felhasználnunk a számítások során, szóval a végeredméynek is ugyanezek lesznek, mint az előbb. Szóval a a hangyák az út végén is szabályos háromszöget fognak közre, és ennek is √2 lesz az oldalhossza.

A kérdés az, hogy útközben milyen alakzatot fognak közre a hangyák (szabályos lesz-e ez is?), és mekkora lesz ennek a mérete. Nem jelenik-e meg valamikor kisebb behatárolt háromszög.

Vagyis, a t perc időpillanatban hogyan helyzkednek majd el a hangyák?

t perc alatt a hangyák épp az élek t-arányában mozdulna el. Tehát ha t éppen ½ perc volt ,akkor épp félúton lesznek a hangyák útközben az élek mentén, t = ¼ esetén pedig épp az általuk járt él negyedén leszenk. Mivel magát az él hosszát is egységnyinek vettük (egy rőf), ezért úgy is mindhatjuk, hogy t perc alatt épp t rőf hosszal lesznek útközben a hangyák.

Most rajzoljuk le a négyzetet, úgy, hogy elképzeljük, ahogy a hangyák éppen t utat tettek meg az egységnyi éleken. Az ábrán szemléltessük t-t valami kicsi, mindjuk kb. egynegyed, vagy egyharmad rőfnyi hosszként. A lényeg, hogy mindhárom hangya esetén ugyanolyan hosszú t-ket vegyük fel.

Nézzük meg a két hangya távolságát:

1. hangya: a 001 pontból a 011 pont felé tartó hangya (t hosszal mozdult el eddigi útja során)

2. hangya: és a 100 pontból éppen a 101 pont felé tartó hangya (ő is t hosszal mozdult el)

Nehéznek tűnik, nemhogy kiszámítani, de még lerajzolni is a hangyák útközbeni helyzetét. Érdemes ezért, segítségképp, egy derékszögű háromszöget belerajzolni az ábrába (és egy kicsit kiszínezni, vagy besatírozni ezt a derékszögű hároszmöget):

A: az 1. hangya

B: a 2. hangya

C az 101 csúcs

A derékszög a C csúcsnál van az ABC háromszögben.

Pitagorasz tételével számoljuk ki az AB távolságot, tulajdonképpen éppen ezt keressük (két hangya távolsága útközben).

AB² = AC² + CB²

Lássuk tehát, mennyi lehet AC² és CB². CB értékét még nem tudjuk közvetlenül, mert az ő kiszámításához még külön egy Pitagorasz-tétel-alkalmazás kell:

CB² = t² + 1²,

CB² = t² + 1,

Ami pedig AC hosszát illeti, őt nem kell külön kiszámítani, közvetlenül is leolvasható az ábráról:

AC = 1 -t

hiszen AC épp azt az utat jelöli, amit a 2. hangyának MÉG MEG KELL TENNIE ahhoz, hogy végigérjen az 1 hosszú élen (amiből eddig már éppen t hosszú utat tett meg).

tehát, ezek szerint AC² pedig

AC² = (1 - t)²

Most már össze tudjuk rakni a dolgokat:

AB² = AC² + CB²

ahol

AC² = (1 - t)²

és

CB² = t² + 1,

ebből összerakva:

AB² = (1 - t)² + (t² + 1)

ismerjük azt az algebrai azonosságot, hogy (1 - t)² = (t - 1)² = t² - 2t + 1

ez alapján

AB² = (1 - t)² + (t² + 1) = (t² - 2t + 1) + (t² + 1) = t² - 2t + 1 + t² + 1 = 2t² -2t + 2

AB = √(2t² -2t + 2)

Tehát az indulástól számított t perc múlva az 1. és 2. hangya √(2t² -2t + 2) távolságban lesz (nem centiben, hanem a kocka élhosszúságának arányában mérve).

A hangyák által bezárt háromszög szabályos, és mindvégig szabályos is marad, tehát a többi hangya egymástól vett távolsága is ugyanennyi.

A kérds az volt, hogy mikor lesz a hromszög területe minimális Szerencsére a háromszög mindvégig ugyanolyan alakú marad (csak mérete és elhelyezkedés változik), ezért nem kell területszámítással bajlódnunk: egész egyszerűen akkor lesz a területe minimális, amikor az oldalhosszúsága is minimális lesz. Tehát AB hosszát kéne minimalizálnunk, le kell vezetnünk, hogymely t időpillanatban lesz AB minimális:

AB = √(2t² -2t + 2) mely t-re minimális?

Szerencsére a gyökkel sem kel bajlódnunk. Hiszen valaminek a gyöke ugyanakkor lesz minimlis, amkior maga a gyök alatt lévő kifejezés is minimális. A kérdés tehát úgy is szólhat:

AB² = 2t² -2t + 2 mely t-re minimális?

Érdems a kifejezésből a kétszeres szorzót kiemlenünk. Ez is megkönnyíti a kérdést:

AB² = 2·(t² -t + 1) mely t-re minimális?

Nyilván ugyankkor, amikor a fele is éppen minimáéis. A 2-es szorzóval tehát nem kell bajlódnunk:

½·AB² = t² - t + 1 mely t-re minimális?

Bármenyire is sikerült leegyszerűsítenünk az eredeti kérdést, még mindig nem látszik, hogyan is lehetne levezetni a választ ebből. Azonban van egy konkrét technika erre, úgy hívják, ,,teljes négyzetté kiegészítés''

[link]

A t² - t + 1 kifejezés felírható-e úgy, mint valminek a négyzete (esetleg némi ,,hibakoorekcióval)?

Próbálkozzunk:

t² - t + 1 = (...)² ...

t² - t + 1 = (t - ...)² ...

t² - t + 1 = (t - ½)² ...

Mivel tudjuk, hogy (t - ½)² = t² - t + ¼, ezét ,,majdnem jó'' lett a legutolsó probálkozásunk. Persze, azért mégiscsakvan egy kis ,,hiba'': csak az a zavaró ¼ ne lenne! Hát korrigáljunk vele utólag:

t² - t + 1 = (t - ½)² - ¼

Hogy ennek az azonosságnak a feltárásával mire jutottunk, mi volt ennek a haszna? Az, hogy erre már nagyon könnyű megválaszolni a kérdést:

(t - ½)² - ¼ mely t esetén lesz ez minimális?

hát nyilván ugyankkor amikor (t - ½)² is minimális.

(t - ½)² pedig mikor minimális? Négyzetszám sohasem lehet negatív, hoszen mind a pozitív, mind a negatív számok ngyzete pozitív. Egyedül a nulla négyzete nem pozitív (hanem nulla). Minden más szám négyzete ennél csak nagyobb lehet. Így tehát, (t - ½)² pontosan akkor lesz minimális, amikor t - ½ éppen 0. Mert ha t - ½ nem nulla, akkor a négyzete mindenképp pozitív lesz.

Szóval (t - ½)² akkor minimális, amikor t - ½ éppen nulla.

t - ½ = 0

t = ½

Mértékegységek: perc mint időegység, kocka élhossza mint hosszegység.

A hangák mindvégig szabályos háromszöget zárnak be (ennek helyzete, mérete változik az idővel, de alakja nem), és éppen fél perc leteltével lesznak a legközelebb egymáshoz. Tehátt éppen fél perc múlva fogjá a legkisebb területű háromszöget bezárni. Persze ekkor egyben éppen félúton fognak tartani az élek mentén.

A távolságuk egyébként ekkor

AB = √(2t² -2t + 2) rőf lesz, persze a már kiszámított t idő multán, vagyis t = ½ perc elteltével.

AB = √[2·(½)² -2·½ + 2] = √[2·¼ -2·½ + 2] = √[½ - 1 + 2] = √[1½] = √[3/2] rőf.

Ez mindenesetre jóval kisebb, mint √2, márpedig a hangyák elindulásakor (és megérkezésekor) √2 a háromszög oldalhossza, tehát ,,útközben'' valóban előállnak kisebb értékek is (és éppen félúton a minimum).

Most, legvégül, ,,számoljunk vissza'' a feladat szövegében eredetileg megadott mértékegységekre:

Fél perc: 30 másodperc.

Kocka élhosszának (1 rőfnek, 60 cm-nek) a fele: 30 cm.