Legyen X generátorfüggvénye G (z). Hogyan lehet kiszámítani Y=aX+b generátorfüggvényét, ahol a és b természetes számok? Mennyi lesz Y várható értéke?

Definíció szerint az X valószínűségi változó generátorfüggvénye:

Gx(z) = p₀ + p₁·z + p₂·z² + ...

ahol

pk = P(X=k)

P(X=k) ugyanaz, mint P(Y=ak+b)

Vagyis Gy(z)-ben az X-hez tartozó p₀ lesz az együtthatója a z^(a·0+b) tagnak, p₁ a z^(a·1+b)-nek, stb:

Gy(z) = p₀·z^b + p₁·z^(a+b) + p₂·z^(2a+b) + ...

= z^b·(p₀ + p₁·z^a + p₂·(z^a)² + ...)

vagyis

Gy(z) = Gx(z^a) · z^b

A valószínűség változó várható értéke a generátorfüggvény deriváltja a z=1 helyen:

E(Y) = Gy'(1)

Először számoljuk ki a derivált függvényt:

Gy'(z) = (Gx(z^a) · z^b)' = (Gx(z^a))' · z^b + Gx(z^a) · (z^b)' =

= (Gx'(z^a) · (z^a)') · z^b + Gx(z^a) · (z^b)' =

= Gx'(z^a) · a · z^(a-1) · z^(b) + Gx(z^a) · b · z^(b-1)

(Először szorzat deriváltja volt, utána meg belső függvény deriváltja, a végén sima hatvány derivált.)

E(Y) = Gy'(1) = Gx'(1) · a · 1 + Gx(1) · b · 1

E(Y) = E(X)·a + b

hiszen Gx'(1) = E(X) és Gx(1) = 1