Egy mértani sorozat első, harmadik és ötödik tagjának összege 63. Ugyan ennek a mértani sorozatnak a második tagjának és negyedik tagja az összege 30 Mennyi a q és mennyi az a1?

Mértani sorozat tulajdonsága, hogy úgy kapjuk a következő tagot, hogy az előzőt ugyanazzal a számmal szorozgatjuk.

Ezt a számot kvóciensnek, vagyis hányadosnak szoktuk nevezni, és q-val jelöljük. Vagyis a2=a1*q, a3=a2*q=a1*q*q, általánosan an=a1*q^(n-1).

Ez alapján az első tag a1, a harmadik tag a3=a1*q^2, stbstb, a két összefüggés így írható le:

a1+a1*q^2+a1*q^4=63

a1*q+a1*^q^3=30.

Ezt az egyenletrendszert kell megoldani. Rövid próbálkozás után rá lehet jönni, hogy nem nagyon fog "hagyományosan" kijönni (kifejezős, visszahelyettesítős módszer), ezért valamiféle trükköt kell alkalmazni. :d

a(q^4+q^2+1)=63

a(q^3+q)=30.

Osszuk el az első egyenletet a másikkal. Ezt megtehetjük, hiszen a másik egyenlet egyik oldala sem 0 (mind2 oldal pontosan 30).

Ekkor (q^4+q^2+1)/(q^3+q)=21/10. Felszorozva a nevezőkkel és 0-ra rendezve:

10q^4-21q^3+10q^2-21q+10=0 Ezt szépen szorzattá lehet alakítani, hiszen szimmetrikusan helyezkednek el az együtthatók. Az ilyen egyenlet (ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0 alakúakat) úgy lehet megoldani, hogy elosztunk x^2-tel, majd x+1/x -re új ismeretlent bevezetve másodfokú egyenletet kapunk!

Vagyis:

10q^4-21q^3+10q^2-21q+10=0 /q^2 (q nem 0, ez nyilvánvaló..)

10q^2-21q+10-21/q+10/q^2=0

10*(q^2+1/q^2)-21(q+1/q)+10=0 Vegyük észre, hogy (q+1/q)^2 = q^2+1/q +2 !

10*(q^2+1/q+2)-20 -21(q+1/q)=0 x:=q+1/q.

10x^2-21x-10=0

Ennek a megoldásai x-re 5/2 és -2/5, vagyis

q+1/q=5/2 vagy q+1/q=-2/5.

Az első egyenletből q=2 és q=1/2 adódnak, a másodiknak nincsen valós megoldása ( |y+1/y| legalább 2 ).

a 2 q ismeretében az a-k kiszámolhatók.

Sajnos valahol el van számolva. A helyes megoldás:

{a_1 = 3, q = 2}, {a_1 = 48, q = 1 / 2}

3, 6, 12, 24, 48 és fordított sorrendben ugyanezek.