Ha a nem négyzetszám pozitív egész, akkor gyök (a) irracionális. Bizonyítás?

Ha gyök(a) racionális, akkor felírható két relatív prímszám hányadosaként:

gyök(a) = p/q

Emeljük négyzetre és szorozzuk meg q^2-tel:

p^2 = a*q^2

Innen egyrészt a|p^2, másrészt mivel a számelmélet alaptétele szerint se p^2-nek, se q^2-nek nincs 1-nél nagyobb közös osztója, p^2 valamennyi prímtényezője 'a' felbonátásban szerepel, vagyis p^2|a.

Ezt a két oszthatóságot ha egybeveted, a=p^2 adódik, tehát 'a' egy egész szám négyzete.