Hogyan lehetne bizonyítani azt, hogy a pozitív egész számok (Z+) számossága egyenlő a pozitív racionális számok (Q+) számosságával?

Egy egyszerű megfeleltetéssel:

Minden racionális számot bijektíven (mindegyiknek van társa de csak 1 van) úgy feleltetünk meg egy természetes számmal hogy elhagyjuk a tizedes vesszőt. Amennyiben egy olyan racionális számot feleltetnénk meg ami egyben természetes is akkor a végére toldunk egy 0-ást.

Szóval pl. a 3,54 -> 354 és a 14->140 ....

Belátható hogy ez a megfeleltetés alapján minden számnak van párja és csak egy van => a két halmaz számossága egyenlő.

Azért a fenti megfeleltetésnél picit bonyolultabb kell, mert ez nem bijektív: például 3,54 és 35,4 képe egyaránt 354 lenne.

Úgy érdemes elindulni, hogy a pozitív racionális számokat úgy írjuk fel, mint az egész számokból képzett lehetséges hányadosokat (így persze minden racionális számot többször írtunk fel, de ez nem baj, mert erről a "nagyobb" halmazról is derül ki, hogy ugyanannyi eleme van, mint a pozitív egész számok halmazának).

Így egy táblázatba rendezhetjük a valós számokat (a sorokban a számlálók, az oszlopokban a nevezők alapján), és ezt a táblázatot "cikkcakk" úton bejárva adódhat egy bijektív megfeleltetés a pozitív egészekkel.

Másként elmondva: rendezzük a törteket a számláló és nevező összege szerint, azon belül pedig a számláló szerint növekvő sorrendbe. Tehát:

1/1 , 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, ...

Az előző jó.

Nagyon ajánlom az alábbi könyvet:

Péter Rózsa: Játék a végtelennel

Ebben minden hasonló gondolatmenet szépen, szemléletesen benne van. Alapmű, asszem több tucat nyelvre lefordították, több generáció ebből ismerte meg a végtelen számosságok fogalmát, működését.

Én pedig azt nem értem, hogy a helyes válaszom miért csak 64%-os, de nem probléma, azért nem véresen komoly dolog ez a gyakorikérdések-százalék.

Viszont az első válaszban nem "apró hiba" volt, hanem teljesen rossz volt a megfeleltetés. Annyi volt a helyes "alapötlet", hogy tudtad az egyenlő számosság definícióját, tehát hogy bijekciót kell megadni a két halmaz között. Ez még nem ötlet a bizonyításhoz, ez csak a definíció. A lényeg a leképezés helyes megadása.

Megadsz két injektív leképezést köztük, aztán CBS.

Z-->Q injektív az identitás.

Q-->Z injektív az, hogy r=p/q ı--> 2^p*3^q.

Mindkettõ halmaz kisebb a másiknál, tehát egyenlõk. (ez nem használja a kiv.ax.-t)