MI az alábbi differenciálegyenlet megoldása?

Egy lehetséges megoldás a következő: Használjuk a w(y)=y'(x) helyettesítést, ekkor nyílvánvalóan y"(x)=[dw/dy]*w(y) adódik.

Ezt visszaírva az eredeti egyenletbe az wdw=p*dy/y^2 szeparábilis egyenletre jutunk, amelynek a megoldása:

w(y)=pluszminusz gyök[C-2p/y], ahol C konstans. Így viszont tudjuk hogy y'(x)=pluszminusz gyök[C-2p/y]. Az integrálás elvégezhető, logaritmusok lesznek benne, viszont y-ra transzcendens az egyenlet. De végülis ezzel a módszerrel adott egy y(x)=F(y) implicit alakú megoldás.

Esetleg lehet még próbálkozni Laplace-transzformációval.

Érthető?

#2: Miért ne lehetne Laplace-transzformációval? Felveszel egy kezdeti feltételt paraméteresen: y(x=0)=y_0. És ezzel számolsz tovább...

Az persze nemlineáris egyenleteknél nincs garantálva, hogy az L-trafóval kapott megoldás minden "részét" kiadja az általános megoldásnak. De ez messze vezet...

Valóban, ez az egyenlet írja le azt a mozgást. Jó példája annak, hogy ha egy picit több mindent veszünk figyelembe, jelentősen túlbonyolodik a megoldás.

Ha pl. egy végtelen vonaltöltést vennénk, és annak az erőterében vizsgálnánk egy q töltésnek a mozgását, akkor a négyzet kiesne a diffegyenletből, ám a megoldás még így is implicit lenne.

Ha viszont egy végtelen síkot tekintenénk, akkor már az y-tól függő szorzó teljesen kiesik, azaz y"=p marad, amiből pedig a jól ismert négyzetes úttörvény adódik.

Ezen utóbbi esethez képest a végtelen vonaltöltés és a ponttöltés esetében a diffegyenlet megoldása gyakorlatilag a térerősség jelentős bonyolultsága miatt válík nehézkessé.

Nem csoda, hogy nincs a szakirodalomban.

Numerikus módszerrel lehet az ilyeneket megoldani. Esetleg érdemes lehet még felrajzolni a trajektóriákat. Cauchy-átírással ugyanis az {x'=y; y'=p/x^2} kétismeretlenes nemlineáris differenciálegyenlet-rendszer kapható.

Nem tudom, hogy leírták -e már, én ezzel a témakörrel nem foglalkoztam, bizonyára utána kéne járni. A föntiekben leírt módszeremmel mindenesetre az általános megoldás implicit alakja előállítható, levezethető. Az így kapott implicit megoldásból a numerikus értékek gyökkereső eljárások segítségével kinyerhetők. (pl. matlabban leprogramaozod, vagy c++ ban amiben akarod...)

Másik lehetőség, hogy magára a diffegyenletre használsz valamilyen numerikus sémát.

Talán egy TDK munka keretében pl. lehetne elemezni a felvetődő kérdést ponttöltés, vonaltöltés, és síklemez esetére, valamint hogy hogyan változik a megoldás a térbeli kiterjedés változtatásával. Analitikus és numerikus módszerek összehasonlítása, elemzése. Az egyes esetek határátmenetként miképp származtathatók (dimenziócsökkentéssel) a másikakból.