Hányad része a paralelogramma területe a háromszög területének?

Sima négyzettel az jön ki, hogy ez a háromszög területe 3/8 -a a négyzet területének (bár lehet valamit elszámoltam), s ugye egy négyzet az paralelogramma...szóval érted.

Lehet rossz a gondolatmenetem, ha igen, valaki jön és kijavít.

Egyébként téglalapnál is ez jön ki. Valószínűleg rombusznál is...bár ezek mind speciális paralelogrammák...De az volt a gondolatmenetem, hogy ha egy általános paralelogrammánál kijön egy eredmény, akkor annak igaznak kell lennie egy speciális paralelogrammára is, vagyis négyzetre is, téglalapra is és rombuszra is.

Lehet tévedek.

A háromszög területe felírható T = a*b*sin gamma / 2 képlettel.

A paralelogramma területe tehát 2*a*b*sin gamma / 2 = a*b*sin gamma

Írjuk fel az AEF, EDC, FBC háromszögek területét és vonjuk ki a paralelogramma területéből így megkapjuk az EFC háromszög területét.

A paralelogramma A-nál lévő szöge legyen gamma.

A másik szöge ekkor 180-gamma

T(AEF) = a/2 * b/2 * sin gamma /2

T(EDC) = b/2 * a * sin (180-gamma) /2

T(FBC) = a/2 * b * sin (180-gamma) /2

sin x = sin (180-x) összefüggést kihasználva:

T(AEF) = a*b*sin gamma /8

T(EDC) = a*b*sin gamma /4

T(FBC) = a*b*sin gamma /4

Az összegük:

1/8 + 1/4+ 1/4 = 5/8

5/8 * a*b*sin gamma

A teljes paralelogramma a*b*sin gamma

Akkor az EFC háromszög területe 3/8 paralelogramma.

"az volt a gondolatmenetem, hogy ha egy általános paralelogrammánál kijön egy eredmény, akkor annak igaznak kell lennie egy speciális paralelogrammára is, vagyis négyzetre is, téglalapra is és rombuszra is.

Lehet tévedek."

Ez a módszer arra jó, hogy megsejtd az eredményt. De attól, hogy valami igaz négyzetre meg téglalpra az nem bizonyítja, hogy paralelogrammára is igaz lesz.

De sokszor segítség, ha kipróbáljukl egy speciális esetre és abból merítsünk ötletet az általános megoldáshoz.

A megoldás menetét már leírta az előző válaszolóis : a paralelogramma területéből ki kell vonni három háromszög területét, hogy megkapjuk a keresett területet.

Legyen

a - a paralelogramma hosszabbik oldala

m - a hozzá tartozó magasság

T0 - a paralelogramma területe

Tx - a keresett terület

T1, T2, T3 - a levonandó területek

A feladat a

Tx = T0 - T1 - T2 - T3)

mennyiség kiszámítása

A területek

A paralelogramma területe

T0 = a*m

A levonandó területek mindegyike egy háromszög

1. AFE

2. FBC

3. CDE

AFE háromszög

Alap: a/2

Magasság: m/2

Terület

T1 = (1/2)(a/2)(m/2)

T1 = a*m/8

T1 = T0/8

FBC háromszög

Alap: a/2

Magasság: m

Terület

T2 = (1/2)*(a/2)*m

T2 = a*m/4

T2 = T0/4

CDE háromszög

Alap: a

Magasság: m/2

Terület

T3 = (1/2)*a*(m/2)

T3 = a*m/4

T3 = T0/4

Minden adat megvan, jöhet a megoldás

Tx = T0 - T0/8 - T0/4 - T0/4

Tx = T0(1 - 1/8 - 1/2)

Tx = (3/8)T0

Tx/T0 = 3/8

==========

Ez a megoldás is minden paralelogrammára igaz.

DeeDee

*******